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高数笔记:多元函数微分法及其应用

目录 题型计算全微分判断多元函数连续性偏导存在和连续有关系吗?求曲面的切线、切面、法线等全微分的存在条件驻点和极值点的判断复合函数的求导法则已知偏导数求原函数的方法题型 计算全微分 【例子】 求 $z = e^{\frac{y}{x}+ \frac{x}{y}}$ 的 全微分。 解: $$ \begin{align} d z &=e^{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}} d\left[ 阅读全文 ]高数笔记:多元函数微分法及其应用

高数笔记:曲线积分、向量场积分、梯度/旋度/格林/散度定理(上)

目录 基础知识第一类曲线积分计算原理向量场的积分原理向量场的分解积分法梯度定理格林定理旋度和散度旋度的定义旋度定理散度定理题型直接给出参数方程的普通题基础知识 第一类曲线积分 曲线的线密度为 $\mu (x,y)$ ,那么曲线积分相当于求曲线的质量。其表达式为: $$ \begin{align} M &= \lim_{\lambda \to \infty} \sum_{i=1}^{+\infty}[ 阅读全文 ]高数笔记:曲线积分、向量场积分、梯度/旋度/格林/散度定理(上)

离散数学:题型和易错点总结 / Chapter 1: The Foundations:Logic and Proofs(上)

目录 1.1 Propositional Logic判断是否是命题求命题的否定逻辑联结词的运用1.2 Applications of Propositional Logic用逻辑命题表述自然语言实例推理题1.3 Propositional Equivalences逻辑等价的类型证明逻辑等价(入门)使用真值表证明1.4 Predicates and QuantifiersDomain 内等价形式转换[ 阅读全文 ]离散数学:题型和易错点总结 / Chapter 1: The Foundations:Logic and Proofs(上)

高数笔记:级数敛散性的判断方法

目录 收敛级数具有哪些性质?如何判断级数收敛?柯西审敛原理比较审敛法达朗贝尔判别法积分判别法根值判别法莱布尼茨判别法收敛级数具有哪些性质? 乘以常数,依然收敛。 互相加减,依然收敛。 增减有限项,依然收敛。 任意加括号,依然收敛。 一般项 $u_n$ 趋于零。 如何判断级数收敛? 柯西审敛原理 这是一种基础但是实际不常用的方法。它的原理是,当 m 非常大的时候,从 m 起的连续任意项求和等于零。 [ 阅读全文 ]高数笔记:级数敛散性的判断方法

猴子也能听懂的三重积分换序问题

从二重积分说起 【例子】改变积分次序: $$ \int_0^2\mathrm{d}x\int_x^{2x}f(x,y)\mathrm{d}y $$ 首先我们要知道积分区域是怎样的。 如何画出二重积分的积分区域 我们只需要关注各个变量的临界情况。比如$\int_0^2 \mathrm{d}x$ 说明$x$ 的临界是 $x=0,x=2$;$\int_x^{2x}f(x,y)\mathrm{d}y$ 说[ 阅读全文 ]猴子也能听懂的三重积分换序问题

如何在 Python 中绘制向量场(使用 Matplotlib)?

目录 教程准备工作绘制简单二维向量场绘制三维向量场绘制四维向量场参考资料教程 准备工作 Python 3 Numpy & Matplotlib(使用 PIP 安装,代理可通过 HTTPS_PROXY 环境变量设置) 绘制简单二维向量场 下面的代码绘制了 $\bold{F}(x,y) = xi+2j$ 的向量场 import numpy as np import matplotlib.pyp[ 阅读全文 ]如何在 Python 中绘制向量场(使用 Matplotlib)?

离散数学笔记:1.5 嵌套量词,量词消去和前束范式

我们看这个量化句: $$ \forall x\exists y(x+y=0) $$ 它表示:对于所有的 $x$ 存在 $y$ 使得 $x+y = 0$. 这里我们使用了两个量化符号,这就是一种嵌套(nest)。 【例子】量化这个命题:“For every real number x, if x ≠ 0, then there exists a real number y such that xy [ 阅读全文 ]离散数学笔记:1.5 嵌套量词,量词消去和前束范式