微积分与几何：体积、曲线长度和表面积问题
目录 积分与几何体积积分问题曲线长度问题表面积问题极坐标系下的几何微积分问题面积问题弧长问题积分与几何 体积积分问题 求球体 $x^2+y^2+z^2=r^2$ 的体积 求 $y = \sqrt{x}$ 在 $(0,x_0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周形成的体积 解: 设与 $yOz$ 平行的面在 $x$ 处与球体相交, 截面面积是 $A(x)$. 根据勾股定理, $A(x)=\pi y^{2}=\
分类： 追逐世界的真理
变限积分之数形理解
对于 $g(x) = \int_0^x f(t)dt$ 这个式子要怎么理解? t 是什么? f(t)dt 是什么? g(x) 表示什么? 首先我们要理解 $\int_0^x$ 表示什么. $\int_0^x$ 表示的是后面的表达式的自变量的积分范围是$(0,x)$ 也就是说, $u(t) = f(t)dt$ 中 $t$ 的取值范围在 $(0,x)$ 那么 $f(t)dt$ 又表示什么呢? 为什么不
线性代数：$r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ “和的秩小于秩的和” 句读
把 $A,B$ 看作两个列向量组, 那么运算 $A+B$ 表示的是向量的批量对应叠加. 考虑 $A=\begin{pmatrix}1\ 2\ 0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2\ 3\ 0\end{pmatrix}$ 把它们相加, 或者各放缩(乘以$k$)后叠加, 无论如何都不可能出来一个 $z$ 值不是 $0$ 的向量, 向量叠加不会增加维度. 但是, 向量相加却
高数笔记：数列的极限
目录 数列数列的有界与无界数列的单调性数列的子列平凡子列非平凡子列数列的极限数列 定义在自然数集上的函数 $f(n)= x_n$, 将其函数值按自变量大小由小到大依次排列可得: $$ x_1, x_2, \dots,x_n, \dots $$ 称之为数列, 记作 ${x_n}$. 数列中的每个数, 都称为数列的项, 称 $x_n$为数列的通项. 数列的有界与无界 若 $\exists M >
高数笔记：几个基本概念(实数公理和确界原理)
此为笔记, 不求极致的严谨, 只求易理解. 目录 公理、概念与记号区间(Interval)邻域(Neighbourhood)去心邻域(Punctured Neighbourhood )左右邻域符号函数和取整函数存在和全称量词上界和下界描述例子有界集确界证明的思路例题确界原理公理、概念与记号 实数(Real Number)集公理：设 $\R$ 是实数集, 则$\R$具有以下性质： 有序性 无界性 稠
离散函数，差分，二阶差分和 Laplacian 滤波原理
目录 离散函数差分和二阶差分什么是差分偏导数的差分形式拉普拉斯滤波离散函数 什么是离散函数？我们来看几个例子: 这是 $f(x) = \sin x + \sin {x \over 2}$ 的函数图像。它的定义域是 $R$，是连续的。 再看下图这是 $f(x) = \sin x + \sin {x \over 2}$ 当 $x$ 是 $1\over2$ 的整数倍时的图像。是离散的。这样的定义域是离散
高斯分布：二维形式、加权模板和滤波
从一维到二维 高中某课本里，我们曾经学习过正态分布，也即高斯分布。其公式如下： $$ \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{{(x-\mu})^2}{2\sigma^2}} $$ 其中 $\mu$是分布的对称轴——均值，$\sigma$ 是标准差。$\mu=0$时，上式变为： $$ f(x) =\frac{1}{\sqrt{