«行最简化的竖式方法»
by pluvet on Dec 29, 2019

行最简化的竖式方法

为了避免反复抄表, 减少抄写错误; 避免分数运算, 提高运算准确率, 应付考试, 发明此法.

操作示范

求通解

$\left\{\begin{array}{c}{x_{1}+x_{2}-6 x_{3}-4 x_{4}=-1} \\ {3 x_{1}-x_{2}-6 x_{3}-4 x_{4}=9} \\ {2 x_{1}+3 x_{2}+9 x_{3}+2 x_{4}=7} \\ {2 x_{1}-3 x_{2}-21 x_{3}-10 x_{4}=1}\end{array}\right.$

解:

首先去除第四行, 显然是由前三行以 $1:1:-1$ 凑出来的, 是无效行.

对于

$\left\{\begin{array}{l}{x_{1}+x_{2}-6 x_{3}-4 x_{4}=-1} \\ {3 x_{1}-x_{2}-6 x_{3}-4 x_{4}=9} \\ {2 x_{1}+3 x_{2}+9 x_{3}+2 x_{4}=7}\end{array}\right.$

计算过程如下

// 首先列出增广矩阵:
    1    1    -6    -4    -1
    3    -1    -6    -4    9
    2    3    9    2    7
// 对于上面, 用第 1 行减去第 2 行, 得到新行 -2    2    0    0    -10 放在下面.
// 同时把 1 或 2 行中的更复杂一行做 x 标记, 表示弃用:
    1    1    -6    -4    -1
x    3    -1    -6    -4    9
    2    3    9    2    7
    -2    2    0    0    -10
// 对于上面: 末两行作差, 得到新行放在下面.
// 同时把作差两行中的更复杂一行做 x 标记, 表示弃用:
    1    1    -6    -4    -1
x    3    -1    -6    -4    9
x    2    3    9    2    7
    -2    2    0    0    -10
    0    5    9    2    -3
        
// 如此下去, 即可解出.

草稿纸是这样的:

x    1    1    -6    |    -4    -1
x    3    -1    -6    |    -4    9
x    2    3    9    |    2    7
x    -2    2    0    |    0    -10
x    0    5    9    |    2    -3
x    -1    1    0    |    0    -5
x    0    2    -6    |    -4    -6
x    0    1    -3    |    -2    -3
x    0    5    -15    |    -10    -15
x    0    0    24    |    12    12
x    0    0    2    |    1    1
x    0    0    18    |    9    9    // 为了避免分式运算, 把两行各自扩大到最小公倍数, 并弃用各自原行
x    0    10    18    |    4    -6
x    0    10    0    |    -5    15
x    0    2    0    |    -1    -3
x    0    0    2    |    1    1
x    -2    2    0    |    0    -10

    2    0    0    |    -1    7
    0    2    0    |    -1    3
    0    0    2    |    1    1

草稿运算过程中不会有任何分数的计算

不用进行任何重复誊抄

最后得到的对角矩阵, 三行各自除以主元系数 2 就得到了答案.

$\left(\begin{array}{cccc|c}{1} & {0} & {0} & {-\frac{1}{2}} & {\frac{7}{2}} \\ {0} & {1} & {0} & {-\frac{1}{2}} & {-\frac{3}{2}} \\ {0} & {0} & {1} & {\frac{1}{2}} & {\frac{1}{2}} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right)$

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