«分子出现根号, 根号内带有平方的积分»
by pluvet on Dec 22, 2019

分子出现根号, 根号内带有平方的积分

例子 $\int \sqrt{\frac{1}{1+2x^2}}dx$

这里就记作一个结论吧:

$\begin{aligned} \int \frac{d x}{\sqrt{1+2 x^{2}}} &=\int \frac{d x}{\sqrt{1+(\sqrt{2 x})^{2}}}=\int \frac{\sec (x)}{\sqrt{2}} d x \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \ln |\tan x+\sec x| \end{aligned}$

其中 $u=\arctan (\sqrt{2} x)$

反代回去, 得到

$I =\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left|\sqrt{2}x+\sqrt{1+2x^2}\right|+C$

添加新评论