«初等方阵»
by pluvet on Dec 9, 2019

把单位矩阵 $E$ 交换某两行,或某两列(两种情况得到的结果完全一样),得到的矩阵属于初等方阵,记作 $E_r(i,j)$。其中 $r$ 是阶数。

$$ \begin{pmatrix}1&\color{green}0&\color{green}0&0\\0&\color{green}0&\color{green}1&0\\0&\color{green}1&\color{green}0&0\\0&\color{green}0&\color{green}0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\\color{green}0&\color{green}0&\color{green}1&\color{green}0\\\color{green}0&\color{green}1&\color{green}0&\color{green}0\\0&0&0&1\end{pmatrix} $$

观察下列操作:

$$ \begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3&4&5\\ 5&4&7&7\\ 1&2&5&7\\ 2&3&4&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&4&5\\ 5&4&7&7\\ 1&2&5&7\\ 2&3&4&5\end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix}1&\color{green}0&\color{green}0&0\\0&\color{green}0&\color{green}1&0\\0&\color{green}1&\color{green}0&0\\0&\color{green}0&\color{green}0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3&4&5\\ \color{blue}5&\color{blue}4&\color{blue}7&\color{blue}7\\ \color{red}1&\color{red}2&\color{red}5&\color{red}7\\ 2&3&4&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&4&5\\ \color{red}1&\color{red}2&\color{red}5&\color{red}7\\ \color{blue}5&\color{blue}4&\color{blue}7&\color{blue}7\\ 2&3&4&5\end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 1&\color{blue}3&\color{red}4&5\\ 5&\color{blue}4&\color{red}7&7\\ 1&\color{blue}2&\color{red}5&7\\ 2&\color{blue}3&\color{red}4&5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&\color{green}0&\color{green}0&0\\ 0&\color{green}0&\color{green}1&0\\ 0&\color{green}1&\color{green}0&0\\ 0&\color{green}0&\color{green}0&1\end {pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&\color{red}4&\color{blue}3&5\\ 5&\color{red}7&\color{blue}4&7\\ 1&\color{red}5&\color{blue}2&7\\ 2&\color{red}4&\color{blue}3&5\end{pmatrix} $$

我们可以发现,$E\left(i,j\right)$ 左乘交换行,右乘交换列。这是初等交换矩阵, 记作 $P_{ij}$

再观察:

$$ \begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&3&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 3&3&3&3\\ 1&1&1&1\end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&3&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3&1\\ 1&2&3&1\\ 1&2&3&1\\ 1&2&3&1\end{pmatrix} $$

可以发现,数乘的情况也是,左乘乘到对应行,右乘乘到对应列。这是初等倍乘矩阵, 记作 $D_i(k)$

$$ \begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 3&3&3&3\\ 4&4&4&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 11&11&11&11\\ 4&4&4&4\end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&2&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 3&3&3&3\\ 4&4&4&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 3&3&3&3\\ 8&8&8&8\end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\\ 1&1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&3\\ 1&1&1&3\\ 1&1&1&3\\ 1&1&1&3\end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 3&3&3&3\\ 4&4&4&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&2&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&1&1\\ 2&6&2&2\\ 3&9&3&3\\ 4&12&4&4\end{pmatrix} $$

观察可以发现, 左乘的时候, 单位矩阵行列为$i,j$位置的$k$使得目标矩阵的$i$行加上了$j$行的$k$倍. 这是初等倍加矩阵. 记作 $T_{ij}(k)$

交换、数乘,结合起来,就可以用初等方阵表示初等变换。并且,显然初等方阵都是可逆的(可逆的定义:乘以一个矩阵能得到单位矩阵。显然,初等方阵怎么从单位矩阵来的,就怎么乘回去,必然能回到最初的单位矩阵)。

利用这个,就可以求逆矩阵。

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