«$xf(a)-af(x)$型的处理»
by pluvet on Nov 12, 2019

例:设$f'(a) = b$,则$\lim\limits_{x\to a}\frac{xf(a) - af(x)}{x-a} = ?$

解:

上下同除 $ax$

$$ \begin{align} & \lim\limits_{x\to a}\frac{xf(a) - af(x)}{x-a}\\ & =\lim\limits_{x\to a}\frac{\frac{f(a)}{a} - \frac{f(x)}{x}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{x}} \\ & =ax \lim\limits_{x\to a}\frac{\frac{f(a)}{a} - \frac{f(x)}{x}}{x-a} \\& = -a^2[\frac{f(a)}{a}]' \\ & = f(a) - ab \end{align} $$

法二:

添加临时项

$$ \begin{align} &\lim\limits_{x\to a}\frac{xf(a) - af(x)}{x-a}\\ &= \lim\limits_{x\to a}\frac{ xf(a) - af(a) + af(a) - af(x) }{x-a}\\ &= \lim\limits_{x\to a}\frac{ (x - a)f(a) + a(f(a) -f(x)) }{x-a}\\ &=f(a) + a\lim\limits_{x\to a}\frac{ (f(a) -f(x)) }{x-a}\\ &=f(a) - a f'(x)\\ &=f(a) - ab \end{align} $$

仅有一条评论

  1. repostone repostone

    早忘了这些东西了。

添加新评论