«求指数型极限:对数变换»
by pluvet on Nov 11, 2019

求指数型极限:对数变换

例:

若函数$f(x)= \left\{\begin{align}{(\cos x)^{1\over x^2},x\neq0,\\a ,x=0}\end{align}\right.$在$(-\infin,+\infin)$上连续,则 $a=?$

解:在$a$处连续,则

$$ a = \lim\limits_{x\to0}(\cos x)^{1\over x^2}=\lim\limits_{x\to0}\left(e^{{1\over x^2}\ln\cos x}\right) $$

运用洛必达法则,得:

$$ \lim\limits_{x\to0}\left(e^{{1\over x^2}\ln\cos x}\right) = \lim\limits_{x\to0}\left(e^{\tan x\over 2x}\right)= e^{-\frac{1}{2}} $$

注:这里用到一个结论 $(\ln\cos x)' = - \tan x$。
顺便不妨再记一个结论:$(\ln\sin x)' = + \cot x$。
都记了 sin 和 cos 了怎么能少了 tan 对吧!$(\ln\tan x)' = \frac{2}{sin2x}$。

因此 $a=1$。

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