«求渐近线的方法:以 $f(x) = x\ln\left(e+\frac{1}{x}\right)$为例»
by pluvet on Nov 11, 2019

求渐近线的方法:以 $f(x) = x\ln\left(e+\frac{1}{x}\right)$为例

求渐近线,可以依据以下结论:

若极限$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}=a$存在,且极限$\lim_{x \to + \infty} \left[f \left (x \right) -ax \right]=b$也存在,那么曲线$y=f \left(x \right)$具有渐近线$y=ax+b$。

——维基百科

$$ \begin{align} a &= \lim_{x\to\infin} \ln\left(e+\frac{1}{x}\right) = 1\\ b &= \lim_{x\to\infin} x\left[\ln\left(e+\frac{1}{x}\right) -1\right]\\ &= \lim_{x\to\infin} x\ln\left(1+\frac{1}{ex}\right)\\ &=\lim_{x\to\infin} \ln\left(1+\frac{1}{ex}\right)^{ex\frac{1}{e}}\\ &=\frac{1}{e} \end{align} $$

因此渐近线方程为:

$$ y = x + \frac{1}{e} $$

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