«数学基础:理解一致连续»
by pluvet on Nov 10, 2019

理解一致连续

定义和我的理解

一致连续的定义可表述为:如果对任意的 $\epsilon > 0$,存在 $\delta>0$使得对任意兩點 $|x-y|< \delta$,都有$|f(x)-f(y)|<\epsilon$,则稱函數 $f$ 在 $X$上一致连续。

我的理解:如果说 $f(x)$ 在某区间一致连续,那么$f(x)$在该区间一定连续,同时:$f'(x)$有界,或该区间为闭区间。

例子

下图是 $y=x^2$ 图像,我们任取一个闭区间,会发现其斜率有界,也就是一致连续。我们让$x\to\infin$,这时斜率无界,因此不一致连续。

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下图是$y=\sqrt{x}$图像,我们取$[0,1]$区间,会发现斜率在 $x\to0$时无界,但是$y$在$[0,1]$连续,因此它一致连续。

–5–5–5–4–4–4–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444555–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444555000fff

证明

闭区间连续必一致连续

设$[a,b]$是$\R$上的闭区间,且$f(x)$是$[a,b]$上的连续函数,则$f(x)$在$[a,b]$上一致连续.

证明思路:假设不一致连续,任取区间$[a,b]$内的两个子列,根据“ 极限存在的充要条件”(单调有界数列收敛,且收敛于上确界)。 可知$\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0$,而有界数列必有收敛子列(根据波尔查诺-维尔斯特拉斯定理 ),因此对两个子列分别映射到函数值之后的差取极限一定等于零($\lim_{n\to\infty}(f(a_n)-f(b_n))=0$),就与单调有界的定义(都有$|f(x)-f(y)|<\epsilon$)矛盾。

导数有界必一致连续

同样如上题设两个子列,由中值定理可知:

$$ \begin{align*} |\frac{f(a_n)-f(b_n)}{a_n-b_n}|\leq M \end{align*} $$

也就是说两个子列都有界,于是后面和上题一模一样,不多废话。


然而上面的证明只是证明了必要,还不充分,姑且这么用着,我也不是数学家。

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