反三角函数的导数和记忆诀窍

设 $y=\arcsin(x)$，则有 $x = \sin (y)$，两边对$x$求导得：

$$ 1 = y'\cos y \Rightarrow y' = \frac{1}{\cos y} $$

由于 $\sin^2y+ \cos^2y = 1$，可解出 $\cos y = \sqrt{1-\sin^2y}$。带入上式。再带入 $x = \sin (y)$，可得

$$ y' = \arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

同理可得：

$$ y' = \arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

其中这个负号来自于 $\cos$求导得 $-\sin$ 这里的负号。可由此避免混淆。

对于 tan：

$y = arctan(x)$ 则有 $x = tan(y)$.

$$ tan'(y) = \frac{1}{cos^2y}=sec^2y $$

根据平方关系，$tan^2 - sec^2 = 1$，因此可得

$$ \arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2} $$

这里平方关系变成了“差”，之后的分母因而是“和”，并且是平方，所以分母没有根号。据此可帮助记忆。

同理可得：

$$ arccot'(x) = -\frac{1}{1+x^2} $$

这里 $cot$的导数是$-csc$，因此前面带个符号。这里的平方关系是 $cot^2 - csc^2 = 1$。