高数 A 2. 数列的极限

数列

定义在自然数集上的函数 $f(n)= x_n$, 将其函数值按自变量大小由小到大依次排列可得:

$$ x_1, x_2, \dots,x_n, \dots $$

称之为数列, 记作 $\{x_n\}$. 数列中的每个数, 都称为数列的项, 称 $x_n$为数列的通项.

数列的有界与无界

若 $\exists M > 0, s.t. \forall n \in \N$, 都有 $|x_n| < M $ ,则称数列有界, 否则称数列 $\{x_n\}$ 无界.

数列的单调性

若 $\forall n \in \N$ 都有 $x_n < x_{n+1}$ 则称 ${x_n}$ 为单调递增数列, 同理可定义单调递减数列.

数列的子列

设 $\{n_k | k \in \N\}$为自然数集 $\N$ 的无限子集(无限个元素的子集), 且 $n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots$, 则称数列 $x_{n_1}, x_{n_2}, \dots , x_{n_k}, \dots$ 为数列 $\{x_n\}$的一个子列, 记作${x_{n_k}}$

平凡子列

数列去掉有限个项后得到的子列,称为平凡子列

$1,1^2, 1^3,...,1^n$ ,其本身是自己的平凡子列(去除了 0 个项),去除前两项后,得到的数列仍然是平凡子列。但是如果去除了偶数项,由于去除的项数是无限,得到的数列将是非平凡子列。

非平凡子列

如果不是平凡子列,则称为非平凡子列。

数列的极限

若 $\forall \varepsilon > 0$,总存在相应的正整数 $N$, 使得 $n>N$ 时, 总成立 $a_n \in U(a,\varepsilon)$, 则称 $a$ 为 ${a_n}$ 的极限, 也称数列 $a_n$ 收敛于 $a$, 记作

$$ \lim_{x\to\infty}a_n = a $$

发散数列 没有极限的数列

理解: 这里强调 $\forall \varepsilon > 0$ 其实就是暗示了 $\varepsilon$ 可以非常小. 而当极限值为 $a$ 时, 无论 $\varepsilon$ 多小, 都有一个数列项 $a_n$ 使得 $|a_n - a|$ 比 $\varepsilon $ 还小. 既然有这个 $a_n$ ,那么它的下标 $n$ 就一定会大于某个自然数$N$.

例子 证明 $\lim_{n\to\infty}{n+1 \over 2n} = {1\over 2}$

即证: $\forall \varepsilon > 0$ ,总存在$N \in \N^+$ s.t. 当 $n>N$ 时, 有$|a_n - a|\leq \varepsilon$

我们直接带进去:

$$ \left|{{n+2}\over{2n}} - {1\over 2}\right|<\varepsilon \Leftrightarrow |{1\over 2n}| < {\varepsilon} \Rightarrow n > {1\over 2\varepsilon} $$

可见, 只要使 $n > {1\over 2\varepsilon}$ 成立, 就能推出我们想要的结果.而 $n > N$ 是已知的, 我们只要让 $N\geq {1\over 2\varepsilon}$ 即可利用不等式传递性使得$n > {1\over 2\varepsilon}$ 成立. 所以取 $N = \lceil{1\over 2\varepsilon}\rceil$ 即可.

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