图像处理一百题 Q.17. Laplacianフィルタ(拉普拉斯滤波)

题目

Laplacianフィルタを実装せよ。

Laplacian(ラプラシアン)フィルタとは輝度の二次微分をとることでエッジ検出を行うフィルタである。

デジタル画像は離散データであるので、x方向・y方向の一次微分は、それぞれ次式で表される。

Ix(x,y) = (I(x+1, y) - I(x,y)) / ((x+1)-x) = I(x+1, y) - I(x,y)
Iy(x,y) = (I(x, y+1) - I(x,y)) / ((y+1)-y) = I(x, y+1) - I(x,y)

さらに二次微分は、次式で表される。

Ixx(x,y) = (Ix(x,y) - Ix(x-1,y)) / ((x+1)-x) = Ix(x,y) - Ix(x-1,y)
         = (I(x+1, y) - I(x,y)) - (I(x, y) - I(x-1,y))
         = I(x+1,y) - 2 * I(x,y) + I(x-1,y)
Iyy(x,y) = ... = I(x,y+1) - 2 * I(x,y) + I(x,y-1)

これらより、ラプラシアン は次式で定義される。

D^2 I(x,y) = Ixx(x,y) + Iyy(x,y)
           = I(x-1,y) + I(x,y-1) - 4 * I(x,y) + I(x+1,y) + I(x,y+1)

これをカーネル化すると、次のようになる。

      0  1  0
K = [ 1 -4  1 ]
      0  1  0

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