线性代数 $\tau(p_1 p_2 \dots p_n)$ 与 $\tau(q_1 q_2 \dots q_n)$ 奇偶性相同的理解

对于 $\tau(p_1 p_2 \dots p_n)$ 的情形(其中 pn 为列标),可以理解为按行顺序选,符号由列的逆序数奇偶性决定。同理另一种情形,可以理解为按列顺序选,符号由行的逆序数奇偶性决定。

那么我们选择同样的几个数,其对应项的值应该是相同的(否则将会矛盾),因此有:

$\sum(-1)^{\tau(p_1 p_2 \dots p_n)}{a_{1p_1}a_{2p_2}\dots a_{np_n}} = \sum(-1)^{\tau(q_1 q_2 \dots q_n)}{a_{q_1 1}a_{q_2 2}\dots a_{q_n n}}$

而由于相乘的数只是表示不同,数仍相同,因此值是否相等,取决于$(-1)^{\tau(p_1 p_2 \dots p_n)}$和$ (-1)^{\tau(q_1 q_2 \dots q_n)}$ 是否相等。

而之前说过,对应项的值相同,因此上面两个的值相等,也即奇偶性相同。

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