线性代数 排列数的三个性质证明的解释

对排列进行一次对换则改变其奇偶性。

设排列:$18365472$,稍作分割:$183\ 6|5\ 472$。交换 $65$,不影响 $183$ 的逆序数(因为根据逆序数的计算方法,只需要针对排列的每个数,和其前面的数字进行比较,而 1 的前面没有数字了,所以逆序数不变)。也不影响 $472$ 的逆序数(因为前面的数字无论怎么改变顺序,都是 $18365$ 这几个数的组合)。这样交换一次之后,对于 5 来说,它来到了 6 的前面,导致整个排列的逆序数减少 1 。这样,对于任何两个相邻数的交换,都导致整个排列的逆序数减少1。现在考虑对换任何两个数,比如 8 和 6,那么首先对换 8 和 3:

$1\textbf{83}65472 \rightarrow 1\textbf{38}65472$

然后对换 8 和 6:

$ 13\textbf{86}5472\rightarrow 13\textbf{68}5472$

最后对换 8 和 3:

$ 1\textbf{38}65472\rightarrow 1\textbf{83}65472$

经过三次相邻对换,实现了间隔 1 的两个数的对换。

推而广之,间隔 $ n$ 的两个数的对换,首先要从左往右换 $n+1$ 次,然后再从右往左换 $n$ 次,总共换了 $2n+1$ 次。(可看下图理解)

![1568189623142](C:UsersiAppDataRoamingTyporatypora-user-images1568189623142.png)

其中 2n 次对换后奇偶性恢复,最后一次对换后,奇偶性改变,因此“对排列进行一次对换则改变其奇偶性”为真。于是可以整理得到书上的证明。

奇排列调成自然排列的对换次数为奇数,偶排列调成自然排列的对换次数为偶数

这里很好理解。假设我们有一个自然排列,那么我们每对其对换一次,就会改变其一次奇偶性。最初自然排列是偶排列($因为 \tau = 0$),对换 $2n - 1$ 次之后,其为奇排列,对换 $2n $ 次之后,其为偶排列。这个过程的逆过程就是命题所说的过程,所以也成立。

全体 n 元排列 $(n>1) $的集合中,奇排列与偶排列各一半

$n>1$ 时,排列数为 $n!$ 并且展开一定会有 $\times2$ 项。因此排列数为偶数。假设奇排列有 o 个,偶排列有 e 个,则有 $o + e = n!$,对于每一个奇排列,取固定的两个位置的数进行对换(比如第一位和最后一位)其将变成偶排列。也就是说可以由此产生 o 个不同偶排列。(为什么这 o 个偶排列各不相同呢?因为假设得到的偶排列相同,那么产生它的奇排列也相同,矛盾。)同理可得可以由此产生 e 个不同奇排列,而 $o + e = n!$,假设 $o \not= e$则,产生的偶排列数 o $\not=$ 全体排列中偶排列的数 e,矛盾。因此必有$o = e$

PS: 其实就是证明由全体奇排列经过一次变换就可以得到全体偶排列,因此必然是各占一半。

另外

若想知道为什么排列的逆序数会决定行列式的正负,请阅读:https://www.zhihu.com/question/52957345

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