Hypothesis Testing
本文参考：
- 梨米特考研数学 https://www.bilibili.com/video/BV1D741147G5
- 宋浩 https://www.bilibili.com/video/BV1ot411y7mU
- 概率论与数理统计（浙江大学）https://www.bilibili.com/video/BV1vW41147Uw?p=78
概念
假设检验的基本原理
假设检验的基本原理：实际推断原理（小概率假设），即在一次试验当中，小概率的事件几乎不可能发生。
设：假设 $H_0 = \text{True}$ 时，$P\{A\}$ 很小；$H_0 = \text{False}$ 时，$P\{A\}$ 显著增大。
然后根据样本观察值，看看 $A$ 发生了没有：
发生了，说明拒绝了 $H_0 = \text{True}$ 这个假设。
没发生，说明接受了 $H_0 = \text{True}$ 这个假设。
即：
假设 H_0 真\longrightarrow 构造统计量 \longrightarrow A 发生概率很小\longrightarrow 接受 H_0 假设
$$
方法引入（以均值假设检验为例）
【例子】某车间用一台包装机包装葡萄糖。袋装糖的净重是一个随机变量，它服从正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$。当机器正常时，其均值为 0.5kg，标准差为 0.015kg。某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖 9 袋，称得净重为(kg):
0.497 0.506 0.518
0.524 0.498 0.511
0.520 0.515 0.512问机器是否正常?（显著性水平 $\alpha = 0.05$）
【分析与解答】
在生产中标准差一般认为是确定的，即可以把 $X \sim N(\mu, 0.015^2)$ 作为一个已知条件。我们的问题就是根据样本值，判断是否可以 认为 $\mu = \mu_0 = 0.5$。
提出假设
我们提出两个假设：
- $H_0: \mu = \mu_0 = 0.5$，这是原假设
- $H_1: \mu\ne \mu_0$，这是备择假设
两类错误
- I 类：弃真错误，$H_0$ 这个假设是对的，但是样本值不符合要求（称为拒绝 $H_0$）
- II 类：取伪错误，$H_0$ 这个假设是不真确的，结果通过样本反而接受了这个假设。
这两类错误都是无法排除的。我们约定要 控制犯 I 类错误的概率。这种控制行为称为 显著性检验。
显著性检验
记：
P\{\text{ 犯 I 类错误}\} \leqslant \alpha
$$
其中 $\alpha$ 称为 显著性水平。
那么我们如何衡量这个概率呢？如果 $H_0$ 为真，根据其定义，则 $|\overline{x} - \mu_0|$ 应该比较小。所以可以用 $|\overline{x} - \mu_0|$ 衡量。根据 $\overline{X}$ 分布的性质，构造如下检验统计量：
Z = \dfrac{|\overline{X} - \mu_0|}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)
$$
可以认为 $Z$ 较大时，可以拒绝 $H_0$
为了找出临界值（设为 $k$），我们可以列出方程：
P\{\text{ 犯 I 类错误}\} = \alpha = P\{Z>k\}
$$
从而可以求出 $k = Z_{\alpha/2}$.
所以实际做题时，可以认为当 $|z| \geqslant Z_{\alpha/2}$ 时拒绝 $H_0$。当 $|z|
集合 $W={|z| \geqslant Z_{\alpha/2}}$ 的区域，称为 拒绝$H_0$假设的区域，简称拒绝域。边界 $\pm Z_{\alpha/2}$ 称为临界点。
回到刚才的例子，
（1）设检验统计量为 $Z = \dfrac{|\overline{X} - \mu_0|}{\sigma/\sqrt{n}}$
（2）拒绝域为 $|z| > Z_{\alpha/2}$
（3）$P(|z| > Z_{\alpha/2}) = \alpha$，$\overline{X} = 0.5112$，从而 $Z = 2.2444$
（4）标准正态 $Z_{0.025} = 1.96$
（5）发现 $Z$ 落在了拒绝域，所以拒绝 $H_0$，包装机的工作不正常。
对于均值的单侧检验，$k$ 换成 $Z_{\alpha}$ 即可。
假设选取原则
其实就是一个保守原则：
- 把大众认为正确的命题作为原假设。（已有的不容推翻）
- 把研究人员想要证明的作为备择假设。（新来的需要谨慎）
假设检验的分类
其实就是拒绝域在哪一侧就是什么检验。
- 双边检验：$H_0: \mu = \mu_0$
- 右边检验：$H_0:\mu \leq \mu_0$
- 左边检验：$H_0:\mu \geq \mu_0$
方差假设检验
双边检验
（1）检验统计量：由于 $E(S^2) = \sigma^2$，是无偏估计，当 $H_0 = \text{True}$，有：
\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)
$$
（2）拒绝域：$S^2$ 的观察值$s^2$与 $\sigma_0^2$ 的比值在 $1$ 附近摆动，拒绝域形式为：
\frac{s^2}{\sigma_0^2} \leqslant k_1 \quad \text{or}
\quad \frac{s^2}{\sigma_0^2} \geqslant k_1
$$
（3）确定常数 $k_1, k_2$：$k_1 = \chi_{1-\alpha/2}$，$$k1 = \chi{\alpha/2}$$
（4）因此拒绝域为：
\chi^2 \leqslant \chi_{1-\alpha/2} \cup \chi^2 \geqslant \chi_{\alpha/2}
$$
单边检验（右边为例）
$H_0: \sigma^2 \leqslant \sigma_0^2$，$H_0: \sigma^2 > \sigma_0^2$
注意到 $H_0$ 中全部 $\sigma^2$ 比 $H_1$ 中的小。$H_1$ 为真，则 $s^2$ 往往偏大，所以拒绝域的形式是 $s^2 \geqslant k$。$P(\text{I error}) = P(S^2 \geqslant k)$，一通操作可知，拒绝的临界条件为：
\dfrac{(n-1)k}{\sigma_0^2} = \chi^2_{\alpha}
$$
拒绝域的形式为：
\chi^2 \geqslant \chi_{\alpha}
$$
例题
【例子】样本 n = 5, 数据 [3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24]。总体服从 $N(\mu, \sigma^2)$。
（1）求 $\mu$ 置信水平 0.99 的双侧置信区间。
（2）$\alpha = 0.01$ 下，均值 $\mu$ 是否为 3.25
【分析与解答】
温馨提示：置信水平是 $1-\alpha$，显著性水平是 $\alpha$，别混淆了。
（1）置信水平 $1-\alpha = 0.99$。本题套用的模型为“未知 $\sigma^2$，求 $\mu$ 区间”，利用：
T = \dfrac{\sqrt{n}(\bar{x} - \mu)}{s}\sim t(n-1)
$$
双侧采用 $\pm t_{\alpha/2}(n-1)$（当然，考试的时候要写成 $t_{1-\alpha/2}$ 和 $t_{\alpha/2}$），即：
- t_{\alpha/2}(n-1) \leq T \leq t_{\alpha/2}(n-1)
$$
可以算出的条件：
t_{0.0005}(4) = 4.6041
average 3.252000
variance (div n-1 ) 0.000170
s, standard deviation 0.01303840带入就是：
4.6041 \leq \dfrac{\sqrt{5}(3.252 - \mu)}{0.01303840} \leq 4.6041
$$
得出 $\mu \in[3.2252, 3.2788]$
（2）设 $H_0: \mu = 3.25; H_1: \mu \ne 3.25$
由于 $\sigma^2$ 未知，所以用 T 分布。设检验统计量为 $t = \dfrac{|\overline{X} - \mu|}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
拒绝域为区间的两外侧 $|t|\geqslant t_{\alpha/2}(n-1)$，查表得知：
$t_{0.005}(4) = 4.6041$，而 $|t| = \dfrac{3.252 - 3.25}{0.013/2.23}=0.343 < 4.604$，可以接受 $H_0$，认为均值为 $\mu = 3.25$