数字逻辑笔记（1）

二进制乘除法

二进制乘法：$N$ 进制的乘法本质上就是移位加法。

例如十进制：$1213 = 12 3 + 12 (1\ll1) = 12 3 + 12 * 10 = 36 + 120 = 146$

二进制同理：

$$
\begin{align}
& 1010 * 1101 \
&= (1010 \ll 3) + (1010 \ll 2) + (1010 \ll 0)\
&= 101\ 0000 + 10\ 1000 + 1010 \
&= 1000\ 0010\
\end{align}
$$

二进制除法 加减交替法，详见：http://courseware.eduwest.com/courseware/0013/content/0002/030003.htm

BCD 码

8421 码：利用 8,4,2,1 的权值对每位数进行编码。

例如 $7 = 4 + 2 + 1$ ，编码为 $0111$

例如 $13$ 编码为 $0001\ 0011$。（而不是 $1101$）

8421 码的加法

8421 码进行加法，如果：

1. 结果小于 9 则正确。
2. 结果大于 9 则错误，需要加 6 修正。

为啥是加 6 修正呢？怎么不是加 5 ？

考虑 $16$ 的十六进制表示：$0001\ 0000$

再考虑 $16$ 的 BCD 表示：$0001\ 0110$

可以发现，当产生进位时，是按照十六进制的规则演算的，而 BCD 是十进制的进位规则，因此需要加 $6$ 从而修正为 BCD 码。对于不是 16 的其它数字，进位（即结果大于等于 10）的时候都需要加 6 修正。这可以通过穷举证明。

格雷码

格雷码的表示范围：$[0,15]$

格雷码的特点：相邻整数之间的格雷码只有一位变化。

格雷码的构造方法：

1. $0$ 的格雷码是 $0000$
2. 最低位取反得到下一个格雷码。$1: 0001$
3. 最右边的 $1$ 左边的位取反得到下一个格雷码 $2: 0011$
4. 交替 2，3 两个规则可生成接下来的格雷码。

二进制转格雷码的方法

例如 $0111$，从左往右下标记作 $0, 1, 2, \cdots$

1. $g_0 = b_0$
2. $gi = b{i} \oplus b_{i-1}$

生成过程：

1. $\underbrace{0}_{0}111$
2. $\underbrace{01}_{1}11$
3. $0\underbrace{11}_{0}1$
4. $01\underbrace{11}_{0}$

所以格雷码是 $0100$

格雷码转二进制的方法： 实际上是上述的逆运算

例如：$1011$

1. $b_0 = g_0$
2. $b_i = gi \oplus b{i-1}$

得到结果：$1101$

循环冗余校验（CRC）

CRC 生成原理：https://www.bilibili.com/video/BV1V4411Z7VA

检验原理：

逻辑门

与门：

或门：

非门：

与非门：

或非门：

异或门：

同或门：

三态门：

布尔代数系统

基本代数定律：

1. 交换
2. 结合
3. 分配

运算法则：

1. $A+0=A$
2. $A+1=1$
3. $A \cdot 0=0$
4. $A \cdot 1=A$
5. $A+A=A$
6. $A+\bar{A}=1$
7. $A \cdot A=A$
8. $A \cdot \bar{A}=0$
9. $\bar{\bar{A}}=A$
10. $A+A B=A$
11. $A+\bar{A} B=A+B$
12. $(A+B)(A+C)=A+B C$

德摩根律：

1. \bar{XY} = \bar{X} + \bar{Y}
2. $\bar{X+Y} = \bar{X}\bar{Y}$

布尔表达式

1. SOP 形式（乘积项之和，析取范式）
2. 最小项之和形式（主析取范式）：利用的是布尔表达式可穷举
3. POS 形式（和项的乘积，或与表达式，合取范式）
4. 最大项之积形式（主合取范式）

与非门用作通用件

或非门用作通用件

半加器和全加器

半加器计算两数之和。全加器计算三数之和。输出的是本位和进位。

并行二进制加法器

通过若干进位级联的全加器级联一个半加器，可以得到这种加法器。缺点是进位需要一级一级传输。

超前进位加法器

原理：

首先看普通的并行加法器（如图），其进位输出表达式如下：

全加器 1 :
$$
C{\text {out } 1}=C{\mathrm{g} 1}+C{\mathrm{pl}} C{\text {in } 1}
$$
全加器 2 :
$$
\begin{aligned}
C{\mathrm{in} 2} &=C{\text {out } 1} \
C{\text {out } 2} &=C{\mathrm{g} 2}+C{\mathrm{p} 2} C{\text {in2 }}=C{\mathrm{g} 2}+C{\mathrm{p} 2} C{\text {out } 1}=C{\mathrm{g} 2}+C{\mathrm{p} 2}\left(C{\mathrm{g} 1}+C{\mathrm{pl}} C{\text {in1 }}\right) \
&=C{\mathrm{g} 2}+C{\mathrm{p} 2} C{\mathrm{g} 1}+C{\mathrm{p} 2} C{\mathrm{pl}} C{\text {in } 1}
\end{aligned}
$$
全加器 3:
$$
\begin{aligned}
C{\mathrm{in} 3} &=C{\text {out } 2} \
C{\text {out } 3} &=C{\mathrm{g} 3}+C{\mathrm{p} 3} C{\text {in } 3}=C{\mathrm{g} 3}+C{\mathrm{p} 3} C{\text {out } 2}=C{\mathrm{g} 3}+C{\mathrm{p} 3}\left(C{\mathrm{g} 2}+C{\mathrm{p} 2} C{\mathrm{g} 1}+C{\mathrm{p} 2} C{\mathrm{pl}} C{\text {in1 }}\right) \
&=C{\mathrm{g} 3}+C{\mathrm{p} 3} C{\mathrm{g} 2}+C{\mathrm{p} 3} C{\mathrm{p} 2} C{\mathrm{g} 1}+C{\mathrm{p} 3} C{\mathrm{p} 2} C{\mathrm{pl}} C{\text {inl }}
\end{aligned}
$$
全加器 4:
$$
C{\text {in4 }}=C{\text {out } 3}
$$
$$
\begin{aligned}
C{\text {out } 4} &=C{\mathrm{g} 4}+C{\mathrm{p} 4} C{\text {in } 4}=C{\mathrm{g} 4}+C{\mathrm{p} 4} C{\text {out } 3} \
&=C{\mathrm{g} 4}+C{\mathrm{p} 4}\left(C{\mathrm{g} 3}+C{\mathrm{p} 3} C{\mathrm{g} 2}+C{\mathrm{p} 3} C{\mathrm{p} 2} C{\mathrm{gl}}+C{\mathrm{p} 3} C{\mathrm{p} 2} C{\mathrm{pl}} C{\text {in1 }}\right) \
&=C{\mathrm{g} 4}+C{\mathrm{p} 4} C{\mathrm{g} 3}+C{\mathrm{p} 4} C{\mathrm{p} 3} C{\mathrm{g} 2}+C{\mathrm{p} 4} C{\mathrm{p} 3} C{\mathrm{p} 2} C{\mathrm{g} 1}+C{\mathrm{p} 4} C{\mathrm{p} 3} C{\mathrm{p} 2} C{\mathrm{pl}} C_{\text {in } 1}
\end{aligned}
$$

观察之后就能发现，进位输出只和 $C{\text {in } 1}, C{\mathrm{p} 1}, C{\mathrm{p} 2}, \cdots$ 有关，展开 $C{\mathrm{p} 1}, C_{\mathrm{p} 2}, \cdots$ 又都只和输入的 $A_1, A_2, \cdots , B_1, B_2,\cdots$ 有关

所以可以根据这些表达式设计电路，直接接到各个 $C_{\text {in }$ 端口上，从而实现超前进位。比如这样：

比较器

比较器是这样子的：

用法大家应该秒懂。

四位比较器比较两个八位二进制数