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物理学基础 8:电磁感应,电磁场

基础知识

$ \mu_0 , \mu_r , \mu $ 的关系

$ \mu _r $ 是相对磁导率。 $ \mu _r \mu_0 = \mu $

电磁感应定律

$$
E_i = - \frac{d \Phi }{d t}
$$

流过回路的电荷:

$$
q = \dfrac{\Delta \Phi }{R}
$$

楞次定律:

感应电流激发的磁场反抗变化。

感应电动势的类型

动生电动势

$$
E_i = \int_{l}^{} \mathbf{E_k} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} = \int_{l}^{} (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{l}
$$

特殊情况:匀强磁场直导线匀速切割:

$$
E = Blv
$$

特殊情况:长 R 铜棒绕一端垂直切割匀强磁场:

$$
E_i = \dfrac{1}{2} B \omega R^2
$$

感生电动势

$$
\mathscr{E}_{i}=\int_{a}^{b} \boldsymbol{E} \cdot d l
$$
$$
\text { 感应电场与变化的磁场之间的关系 } \oint_{L} \boldsymbol{E}_{i} \bullet d l=-\int \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot d \boldsymbol{S}
$$

涡旋电场(感生电场)是一种有旋、无源的非保守力场,电场线可以闭合,没有电势、电势差的概念。

【例子】 半径为 $ R $ 的圆柱形区域中,有一均匀磁场 $ \vec{B} $ ,方向垂直直面向里,增加变化率 $ \dfrac{\mathrm{d}\vec{B}}{\mathrm{d}t} $,求任意半径 $ r $ 处的感应电场 $ \vec{E_i} $

【分析与解答】

由“感应电场与变化的磁场之间的关系 ”,可知:

$ r < R $

$$
E_i \cdot 2 \pi r = \dfrac{dB}{dt} \cdot \pi r^2
$$

$ r > R $

$$
E_i \cdot 2 \pi r = \dfrac{dB}{dt} \cdot \pi R^2
$$

由上可知 $ E_i $,我懒得打字了。

【例子】 螺线管长 $ L $ 半径 $ r_0 $,电导率 $ \sigma $,若磁场变化率 $ \dfrac{dB}{dt} = K$,求感应电流(涡电流)强度。

【分析与解答】

首先计算感应电动势,取半径 $ r $ 处的圆柱面,厚度 $ dr $,根据上一题感应电场强度是 $ \dfrac{Kr}{2} $,乘以环周长得到感应电动势 $ \varepsilon_i = K \pi r^2 $,电阻通过 $ R = \dfrac{l}{\sigma S} = \dfrac{2 \pi r}{\sigma L dr} $ 得出。从而薄柱面感应电流是 $ di = \dfrac{\varepsilon _i}{R} = K r \sigma L\ \mathrm{d}r / 2 $,积分求出总电流:$ i = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{r_0} K r \sigma L \ \mathrm{d}r = \dfrac{1}{4} KL r_0^2 \sigma $

自感

$$
\Phi = LI
$$

L 为自感系数,描述了电磁惯性的大小——自感系数越大,回路中的电流越难改变。

自感系数 $ L $ 和自感电动势 $ \varepsilon _L $ 的计算
$$
L = \dfrac{\Phi }{I}
$$
$$
\varepsilon _L = - L \dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}
$$

互感

【例子】 求长直螺线管自感,已知长度 $ l $,截面面积 $ S $,匝数 $ N $,磁导率 $ \mu $

【分析与解答】

管内磁感应强度 $ B = \mu n I $

总磁通量 $ N \Phi = NBS = \mu n^2lSI $

$ L = \dfrac{N \Phi }{I} = \mu n^2 V $

【例子】 真空中螺线管 1 和 2 长度相等匝数相同,直径比 $ \dfrac{1}{4} $。通相同电流,磁能之比为?

【分析与解答】 磁能 $ W = \dfrac{1}{2} \mu_0 \mu_r n^2 VI^2 $

所以磁能比取决于体积比,体积对柱体直径是二次方关系,所以磁能比是 \dfrac{1}{16}

【例子】 中空螺线管,每厘米 $ 20 $ 匝导线,电流 $ 3A $,求管内磁场能量密度。

【分析与解答】 磁场能量密度 $ W = \dfrac{B^2}{2 \mu_0 \mu_r} $

螺线管磁感应强度 $B = \mu_0 n I$(管内),带入求解即可。

【例子】 一无限长直导线,通入稳恒电流 I,其自感系数为 L,则导线的磁场能量为?

【分析与解答】 答案是 $ \dfrac{1}{2} LI^2 $。其中 $ L = \mu_r n^2 V $

【例子】 一个接地导体球,半径为 R,原来不带电。今将一电荷 q 放在球外距球心为 r 的地方,如图 7 所示,则球上感应电荷总量为

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设球表面产生的感应电荷量为Q,导体球接地,球心电势为零。

$ k Q / R + k q / r = 0 $

$Q = - q R / r$

【例子】

如图 5 所示,一半径为 r 的小圆环,初始时刻与一半径为 R (R>>r) 的大圆环共面同心。大圆环固定不动并通有稳恒电流 I,小圆环以匀角速度ω绕着一条直径转动,则小圆环转动时其上产生的感应电动势为

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【分析与解答】 大圆环在小圆环出产生的 $ B = \dfrac{\mu_0 I}{2 R} $

带入高中就学过的交流电瞬时值公式

$$
E=NBS \omega \sin \theta \quad \text{where} \left\{\begin{array}{cc}
N = 1\\
B = \dfrac{\mu_0 I}{2 R}\\
S = \pi r^2\\
\omega
\end{array}\right.
$$

得到

$$
E = \dfrac{\mu_0I \pi r^2}{2R} \omega \sin \theta
$$

【例子】 长为 $ l $ 的长直螺线管,横断面为S,线圈总匝数为N,管中磁介质的磁导率为μ,求自感系数。

【分析与解答】

我们需要求出:$ \Phi $, $ I $

$ \Phi = N B \cdot S_n $

$ B = \mu n I = \mu \dfrac{N}{l} I $

所以 $ L = \dfrac{\Phi }{I} = \dfrac{ \mu N /l I N S}{I } = \mu N^2 S / l $

【例子】 一回路由两根平行的长直导线组成,长直导线轴线间的距离为d, 直导线的截面半径为a, d>>a , 求:这一对导线单位长度的自感系数。

【分析与解答】

$$
B = \dfrac{\mu_0I}{2 \pi d}\\
S = \pi a^2
$$

所以

$$
L = \dfrac{BS}{I} = \dfrac{\mu_0 a^2}{ 2d}
$$

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