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物理学基础 11:波动光学

基础知识

薄膜干涉

$ n_1 < n > n_1 $

$$
2 n h \cos r+\frac{\lambda}{2}=\left\{\begin{array}{ccc}
k \lambda & (k=1,2, \cdots) & \text { 光强极大 } \\
(2 k+1) \frac{\lambda}{2} & (k=0,1,2, \cdots) & \text { 光强极小 }
\end{array}\right.
$$

$ n_1 < n < n_2 $

两反射光都有半波损失

$$
2 n h \cos r=\left\{\begin{array}{ccc}
k \lambda & (k=1,2, \cdots) & \text { 光强极大 } \\
(2 k+1) \frac{\lambda}{2} & (k=0,1,2, \cdots) & \text { 光强极小 }
\end{array}\right.
$$

劈尖干涉

光程差:

$$
\delta = 2ne + \frac{\lambda }{2}
$$

$ n $ 折射率

$ e $ 是介质厚度

$$
2ne =\left\{\begin{array}{ll}
2 k \frac{\lambda}{2} & \text { ( 明条纹)} \\
(2 k+1) \frac{\lambda}{2} & \text { (暗条纹) }
\end{array} k=1,2, \ldots\right.
$$

上式变形可以得到 $ k $ 与膜厚度的关系。

$ k = 0 $$ e = 0 $ 棱边是暗纹。

对于劈尖干涉,相邻明纹(或暗纹)对应的膜厚为确定值

$$
\Delta e = \frac{\lambda }{2n}
$$

间距

$$
L = \Delta e \csc \theta
$$

单缝衍射

$$
b \sin \theta=\left\{\begin{array}{ll}
\pm 2 k \frac{\lambda}{2} & \text { (暗条纹 } ) \\
\pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2} & \text { (明条纹) }
\end{array} k=1,2, \ldots\right.
$$

注:

$ \theta $ 极小时,$ \sin \theta \tilde{} \theta $

参数:

$ b $:狭缝的间距(有时候也记作 $ a $)

$ \theta $ 衍射角

Fraunhofer 衍射实验

实验图示:

typora\20200608075155_7b74d703b7452f40755749ec25c2e425.png

$$
\begin{aligned}
&\text { 中央明纹半角宽度: } \frac{\lambda}{b}\\
&\text { 中央明纹角宽度: } 2 \frac{\lambda}{b}\\
&\text { 中央明纹线宽度: } 2 \frac{\lambda f}{b}
\end{aligned}
$$

双缝干涉

typora\20200608080802_9449433c751a7f7f0574e908363006f4.png

$ d $ 双缝间距

$ D $ 屏与双缝距离 (也记作 $d'$

$ x $ 观察距离

光程差 $ d \sin \theta \tilde{} \tan \theta = d\frac{x}{D} $

$$
\Delta r=d \frac{x}{D}=\left\{\begin{array}{ll}
\pm k \lambda & \text { 加强 } \\
\pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2} & \text { 减弱 }
\end{array}\right.
$$

条纹间距:$ \Delta x=\frac{D \lambda}{d} $

【例子】 例、在双缝干涉实验中,单色光源S到双缝S1、S2的距离相等,则观察到中央明纹在图中的O处,若将单色光源向下移到图中的S`位置,则

(A)中央明纹也向下移动,且条纹间距不变;

(B)中央明纹向上移动,且条纹间距不变;

(C)中央明纹向下移动,且条纹间距变大;

(D)中央明纹向上移动,且条纹间距变大。

typora\20200608081416_c024ddcc1ee9e3dadacf54be636a2016.png

【分析与解答】 光程差不变,向下移动之后,光源到 $ S_2 $ 的光程减小,光源到 $ S_1 $ 的光程增大。所以为了使得光程不变,明纹向上移动。B 正确。

【例子】 在双缝干涉实验中,在屏幕上P点处是明条纹,若将缝S2遮盖住,并在S1、S2连线的垂直平分面处放置一反射镜M,如图所示,则

(A)P点处仍然是明纹;

(B)P点处为暗纹;

(C)不能确定P点处是明纹还是暗纹;

(D)无干涉条纹。

typora\20200608081854_b4ae61884db3b40b8fb1f7be7e8e23de.png

【分析与解答】 反射,光疏介质到光密介质,发生 \frac{\lambda }{2} 损失,变成了暗条纹。

【例子】 例、在杨氏双缝干涉实验中,两条缝的宽度原来是相等的,若将其中一条缝的宽度略变窄,则

(A)干涉条纹的间距变宽;

(B)干涉条纹的间距变窄;

(C)干涉条纹的间距不变,但原来极小处的强度不再等于零;

(D)不再发生干涉现象。

【分析与解答】 $ \delta x = \frac{D}{d} \lambda $,然而 $ d $ 不是缝的宽度,而是缝的间距。所以条纹的间距就只和波长有关。所以间距不变。两缝光强不等,故叠加后不再为 0。

【例子】 用白光进行双缝实验,若用纯红色的滤光片遮盖一条缝,用纯蓝色的滤光片遮盖另一条缝,则

(A)产生红色和蓝色两套干涉条纹;

(B)条纹的宽度发生变化;

(C)干涉条纹的亮度发生变化;

(D)不产生干涉条纹。

【分析与解答】

稳态干涉条件

(1)频率相同;

(2)存在相互平行的振动分量;

(3)相位差

所以颜色不同即频率不同,频率不同不相干。

【例子】 在双缝干涉实验中,双缝与屏的距D=1.2m,双缝间距为d=0.45mm,若测得屏上干涉条纹相邻明条纹的间距为1.5mm,求光源发出的单色光的波长。

【分析与解答】 直接带公式 $ \Delta x = \frac{D}{d} \lambda $ 求解。

【例子】 在杨氏双缝干涉实验中,将整个装置放置于折射率为n 的透明液体介质中,则

(A)干涉条纹的间距变宽;

(B)干涉条纹的间距变窄;

(C)干涉条纹的间距不变;

(D)不再发生干涉现象。

【分析与解答】 光程差 $ \delta = n (s_2 - s_1) = d \sin \theta$ $ \sin \theta $ 增大,\theta 减小,说明条纹分布更加紧凑了。

【例子】 一双缝干涉装置,在空气中观察到相邻明条纹间距为1mm,若将整个装置放置于折射率为4/3的水中,则干涉条纹的间距变为

【分析与解答】

光程差 $ \delta = n (s_2 - s_1) = d \sin \theta$

条纹间距 $ \Delta x = \frac{D}{d} \lambda = \frac{\lambda }{\sin \theta } $

$ \sin \theta $ 增大到 $ \frac{4}{3} $,则条纹间距减小到 $ \frac{3}{4} $,所以间距变为 $ 0.75 \text{mm} $

【例子】 在杨氏双缝干涉实验中SS1=SS2,用波长为的单色光照射双缝S1、S2,通过空气后在屏幕上形成干涉条纹,已知P点处为第三级明条纹,则S1、S2到P点的波程差为;若将整个装置放置于某种透明液体中,P点处变为第四级明纹,则该液体的折射率为n =

【分析与解答】 明条纹:$ \delta = k\lambda = 3 \lambda = d \sin \theta $

原来的第三级,变为第四级明条纹,说明更密了,折射率扩大到 $ \frac{4}{3} $

【例子】 在杨氏双缝干涉实验中,双缝间距d=0.5mm,双缝与屏相距D=0.5m,若以白光入射,求:

(1)分别求出白光中波长为 $ \lambda _1=400nm $$ \lambda _2 =600nm $ 的这两种光的干涉条纹间距。

(2)这两种波长的光的干涉条纹是否会发生重叠?如果可能,第一次重叠的是第几级明纹?重叠处距离中央明纹多远?

【分析与解答】

(1) $ \Delta x = \frac{D}{d} \lambda $ 所以分别是 $ 0.4mm $$ 0.6mm $

(2) 明纹在 $ k \lambda $,列 $ k_1 \lambda _1 = k_2 \lambda _2 $,可知 $ k_1 = 3, k_2 = 2 $


【例子】 利用反射光干涉相消来减少反射,增加透射。已知 $ \lambda $ 求 增透膜厚度 $ h $

【分析与解答】 当某一频率光分为两束,在重新相遇时,若经过的光程差为kλ (k=0、 1、2、3...,发生相长干涉,光被加强;若光程差为(2k+1)λ/2(k=0、1、2、3..,发生相消干涉,光被减弱,变成暗纹。

所以解 $ 2 n h=(2 k+1) \frac{\lambda}{2} $ 即可。

【例子】 空气中有一透明薄膜,厚度 $ h = 0.4 \mu m $,折射率 $ n = 1.5 $。用白光垂直照射,反射光是什么颜色?

【分析与解答】 实际是求什么波长的光反射干涉加强

$$
2nh + \frac{\lambda }{2} = 2k \lambda
$$

解得

$$
\lambda = \frac{1200}{k - \frac{1}{2}} \text{nm}
$$

$$
\begin{array}{ll}
k=1 & \lambda=2400 \mathrm{nm} \\
k=2 & \lambda=800 \mathrm{nm} \\
k=3 & \lambda=480 \mathrm{nm} \\
k=4 & \lambda=340 \mathrm{nm}
\end{array}
$$

可见光 $ 400 - 760 nm$ 所以取 $ k = 3 $ 作为颜色,是青色。

【例子】 在半导体元件生产中,为了测定硅片上SiO2薄膜的厚度,将该膜的一端腐蚀成劈尖状,已知SiO2 的折射率n =1.46,用波长 $ \lambda = 5893A $ 的钠光照射后,观察到劈尖上出现9条暗纹,且第9条在劈尖斜坡上端点M处,Si的折射率为3.42。试求SiO2薄膜的厚度。

【分析与解答】 暗纹:$ 2ne = \frac{2k+1}{2} \lambda $$ e = \frac{2k+1}{4n} \lambda = \frac{2 \cdot 8 + 1}{4 \cdot 1.46}5893 \cdot 10^{-10} = 1.7154 \times 10^{-6} \text{m}$

【例子】 如图所示,折射率为n2 ,厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n1 和n3,且n1 <n2 ,n2 >n3 ,若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上,则从薄膜上、下两表面反射的光束的光程差是

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上表面反射有半波损失。反射光程差:

$$
\Delta=2 n_{2} e \pm \frac{\lambda}{2}
$$

【例子】 如图(a)所示,两个直径有微小差别的彼此平行的滚柱之间的距离为L,夹在两块平面晶体的中间,形成空气劈形膜,当单色光垂直入射时,产生等厚干涉条纹,如果滚柱之间的距离L 变小,则在L 范围内干涉条纹的(  )
(A) 数目减小,间距变大    (B) 数目减小,间距不变
(C) 数目不变,间距变小 (D) 数目增加,间距变小

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【分析与解答】$ b $ 为条纹间距,$ L'$ 为斜面长度,则条纹总数 $ N = \frac{L'}{b} = \frac{2d}{\lambda }$ 所以条纹总数不变。间距变小。

【例子】 用平行单色光垂直照射在单缝上时,可观察夫琅禾费衍射.若屏上点P处为第二级暗纹,则相应的单缝波阵面可分成的半波带数目为?

【分析与解答】

单缝衍射:

$$
b \sin \theta=\left\{\begin{array}{ll}
\pm 2 k \frac{\lambda}{2} & \text { (暗条纹 } ) \\
\pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2} & (\text { 明条纹 })
\end{array} \quad k=1,2, \ldots\right.
$$

其中的 $ 2k, 2k+1 $ 就是半波带数目。选 B。

【分析与解答】 光栅方程:$ \operatorname{dsin} \theta=\pm k \lambda(k=0,1, \ldots) $

$$
k_{\max } \leq \frac{\operatorname{dsin}(\pi / 2)}{\lambda}=1.82
$$

答案是 1.

【例子】 在单缝夫琅禾费衍射实验中,波长为λ的单色光垂直入射在宽度为 a=4 λ的单缝上,对应于衍射角为 30°的方向,单缝处波阵面可分成的半波带数目为

【分析与解答】

半波带数目满足 $ a \sin \theta = m \frac{\lambda }{2} $

所以 $ 4 \lambda \cdot \frac{1}{2} = m \frac{\lambda }{2} $

所以 $ m = 4 $

【例子】 一个质点作简谐振动,振幅为 A,在起始时刻质点的位移为 $\frac{1}{2}A$ ,且向 x 轴的正方向运动,代表此简谐振动的旋转矢量图为?

typora\20200610222220_8abffaa0e9b9ffbb31471e09be005645.png

【分析与解答】

根据运动方向首先排除远离 $ x $ 轴的 A,D。根据位移排除 $ C,D $ 因为他俩是负的。选B。

用劈尖干涉检测工件的表面,如图 1(a),当波长为λ的单色光入射时,观察到的干涉条纹如图 1(b)所示,每一条纹弯曲部分的顶点恰好与左邻的直线部分的连线相切,由图(b)上的条纹可知,工件表面 [ ]

(A) 有一凸起,高为λ/2 (B) 有一凸起,高为λ/4

(C) 有一凹陷,深为λ/2 (D) 有一凹陷,深为λ/4

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【分析与解答】

假设是凸起,那么光程差就会增大,$ \delta = 2ne + \frac{\lambda }{2} $。我们顺着两个玻璃板子从左往右看,光程差是不断增大的,所以凸起的话就要往右边凸。显然他是往左边凸,因此是凹陷。

由于是等厚干涉,所以厚度差就是竖直方向的距离差就是 $\frac{\lambda }{2} $

【例子】 如图 6 所示,折射率 $ n_2 = 1.2 $ 的油滴落在折射率 $ n_3 = 1.5 $ 的平板玻璃上,形成一上表面近似于球面的油膜,若 $ n_1 = 1 $ ,用 600 nm λ 的单色光垂直照射油膜,则油膜边缘处是 __ 环。(此空填“明”或“暗”)

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【分析与解答】

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