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高数笔记:多元函数微分法及其应用

题型

计算全微分

【例子】$z = e^{\frac{y}{x}+ \frac{x}{y}}$ 的 全微分。

解:

$$
\begin{align}
d z &=e^{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}} d\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right) \\
&=e^{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}} \cdot\left(\frac{x d y-y d x}{x^{2}}+\frac{y d x-x d y}{y^{2}}\right) \\
&=e^{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}} \cdot\left[\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{y^{2}}\right) d y+\left(\frac{1}{y}-\frac{y}{x^{2}}\right) d x\right]
\end{align}
$$

判断多元函数连续性

【例子】 二元函数

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\0 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.
$$

在原点连续吗?偏导数存在吗?

解:

$y = kx$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{k x^{2}}{k^{2}\left(x^{2}+1\right)}=\frac{1}{k}$ ,所以不连续。

通过判断个方向的极限是否相同,进而可以判断极限是否存在

$$
\begin{aligned}
f'x(0,0)&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x} \\
&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\Delta x, 0)}{\Delta x}=0
\end{aligned}
$$

$fyx(0,0)$ 同理。因此,偏导数存在。

判断偏导数是否存在,用定义即可。

偏导存在和连续有关系吗?

在一元函数中,可导一定连续。连续不一定可导(比如锯齿波)。

但是在二元函数中,偏导存在和连续没有必然联系。比如

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\
0 & (x, y)=(0,0)
\end{array}\right.
$$

在原点不连续但是偏导数存在。比如 $z = \left| x \right| + \left| y \right| $ 在原点连续但是偏导数不存在。

求曲面的切线、切面、法线等

【例子】 曲线 $\left\{\begin{array}{cc}z &= \sqrt[]{1+x^2 + y^2}\\x &= 1\end{array}\right.$ 在点 $(1,1, \sqrt[]{3})$ 处的切线与 $y$ 轴的夹角为?

解:

$$
\tan \beta=\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,1, \sqrt{3})}=\left.2 y \cdot \frac{1}{2}\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right|_{(1,1, \sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}}{3}
$$

夹角为 $\frac{\pi }{6}$

与轴的夹角的问题,求偏导便可得到斜率的函数。然后带入点即可。

【例子】 求曲线 $x = a \cos t, y = a \sin t, z = b t$$(-a, 0, b \pi )$ 的切线方程。

首先可以通过点解出 $t_0 = \pi $

然后分别将 $x,y,z$$t$ 求导,得到 $x' = -a \sin t$, $ y' = a \cos t$, $z’ = b$ 。带入 $t_0$ ,得到方向向量 $(0, -a, b)$ ,所以切线方程为

$$
\frac{x-x\left(t_{0}\right)}{0}=\frac{y-y\left(t_{0}\right)}{-a}=\frac{z-z\left(t_{0}\right)}{b}
$$

i.e.

$$
\frac{x+a}{0}=\frac{y}{-a}=\frac{z-b \pi}{b}
$$

为什么对参数方程分别求导可以得到方向向量?想象参数方程分别是三个方向的分位移,求导之后得到三个方向的分速度,合成之后自然就是和速度——指向合成方向的向量。

求切线方程,可先求出参数方程,然后求出方向向量,再带点即可。

【例子】$z = y + \ln \frac{x}{z}$ 在点 $(1,1,1)$ 的平面和法线方程。

曲面的偏导数能够表示法向量。利用这一点即可做题。

$F(x) = z - y - \ln \frac{x}{z}$ 则:

$$
\begin{align}
F_x &= - \frac{1}{z} \frac{z}{x} = -\frac{1}{x}\\
F_y &= -1\\
F_z &= 1 - \frac{z}{x}(-\frac{x}{z^2}) = 1+\frac{1}{z}
\end{align}
$$

带入 $(1,1,1)$ 得到法向量:$(-1,-1,2)$

所以切面方程为:

$$
(x-1)+(y-1)-2(z-1)=0
$$

法线方程为:

$$
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2}
$$

【例子】 求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 \\x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,-2,1)$ 处的切线和法平面方程。

解:

$z= -x -y$$x^2 + y^2 + (x^2+y^2+2xy) = 6$ i.e. $x^2+y^2+xy = 3$ i.e. $(x+\frac{y}{2})^2 +(\frac{\sqrt[]{3}}{2}y)^2 = 3$ 后面三角换元华为参数方程。之后求导得方向向量,不BB了。

【例子】 证明 $z = xf(\frac{y}{x})$ 上任意一点的切平面过定点。

求偏导,得法向量,的平面,然后整理平面方程即可。不BB。

【例子】 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 上一点 $ P $ 的切平面平行于 $2x+2y+z = 1$ ,则 $ P $ 点坐标为?

【分析与解答】

法向量设为 $ (2k,2k,k) $

$$
F(x) = x^2 + y^2 + z - 4
$$
$$
F'_x = 2x = 2k\\
F'_y = 2y = 2k\\
F'_z = 1 = k
$$

所以 $ x = y = 1 $

所以 $ P(1,1,2) $

【知识点】

对于直线方程 $Ax+By+Cx+D = 0$ ,其法向量就是 $ (A,B,C) $

全微分的存在条件

可微。由于可微必然连续,连续必有二阶混合偏导相等,故若有全微分则二阶混合偏导相等。

【例子】$ \left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) d x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) d y $$ f(x,y) $ 的全微分,求 $a = ? ,b = ?$

【分析与解答】

$$
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial y}\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \\
2 a x^{2} y-4 x y=6 x^{2} y+2 b x y \\
\left\{\begin{array}{c}
2 a=6 \\
-4=2 b
\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}
a=3 \\
b=-2
\end{array}\right.\right.
\end{array}
$$

驻点和极值点的判断

【例子】 设函数 $z=f(x,y)$ 的全微分为 $dz=xdx+ydy$ ,则点 $(0,0)$

【分析与解答】

$$
\begin{array}{l}
\frac{\partial z}{\partial x}=x \quad \frac{\partial z}{\partial y}=1 \\
A=1 \quad C=1 \\
B^{2}=0 \\
AC-B^{2}>0
\end{array}
$$

所以是极小值点

【例子】$z = e^{2x}(x+y^2+2y)$$(\frac{1}{2}, -1)$ 是否是驻点、极值点?

利用 Hessian 矩阵判定法 $AC-B^2$ 判断,大于零则是极小值点。

【分析与解答】

首先求偏导

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial x} &=2 e^{2 x}\left(x+y^{2}+2 y\right)+e^{2 x} \\
&=e^{2 x}\left(2 x+4 y+y^{2}+1\right) \\
\frac{\partial z}{\partial y} &=2 e^{2 x} y+2 e^{2 x} \\
&=2 e^{2 x}(y+1)
\end{aligned}
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial z}{\partial x}=0 \\
\frac{\partial z}{\partial y}=0
\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
2 y^{2}+4 y+2 x+1=0 \\
y+1=0
\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{1}{2} \\
y=-1
\end{array}\right.\right.\right.
$$
$$
\begin{array}\\
A&=\left.\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x}\right|_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}&=\left.e^{2 x}\left(2 x+4 y+2 y^{2}+3\right)\right| _ {(\frac{1}{2},-1)} &=e^{1}(1-4+2+3)=2 e\\
C&=\left.\frac{\partial^{2} {z}}{\partial^{2} y}\right|_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}&=\left.4 e^{2 x}\left(y+1+\frac{1}{2}\right)\right| _{\left(\frac{1}{2}, 1\right)}&=4 e\left(-1+1+\frac{1}{2}\right) = 2e\\
B&=\left.\frac{\partial z}{\partial x \partial y}\right|_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}&=\left.e^{2 x}(4+4 y)\right| _{\left(\frac{1}{2},-1\right)}&=0\\
\end{array}
$$

因此 $AC-B^2 = 4e^2 > 0$,该点是极小值点。

【知识点】

$f$ 在M点处的黑塞矩阵为$H(M)$。由于$f$$M$点处连续,所以$H(M)$ 是一个 $n \times n$ 的对称矩阵,对于$H(M)$,由如下结论:

  • 如果$H(M)$是正定矩阵,则临界点M处是一个局部的极小值。
  • 如果$H(M)$是负定矩阵,则临界点M处是一个局部的极大值。
  • 如果$H(M)$是不定矩阵,则临界点M处不是极值。

复合函数的求导法则

【例子】$z = f(xy, \frac{x}{y})+ g(\frac{y}{x} )$ ,其中 $f,g$ 均可微,则 $\frac{\partial z}{\partial x}$ =?

解:

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime}_1 y+f^{\prime}_2 \frac{1}{y}+g _{1}^{\prime} \cdot \left( -\frac{y}{x^{2}}\right)
$$

【例子】 已知:$z=e^{2 x-3 z}+2 y$,求 $3 \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$

错误示范:

$$
\begin{array}{l}
\frac{\partial z}{\partial x}=2 e^{2 x-3 z} \\
\frac{\partial z}{\partial y}=2
\end{array}
$$

这么做的问题在于,题给式子是一个隐函数。

已知偏导数求原函数的方法

【例子】$u=u(x, y)$ 满足 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=1+2 x$$u(x, 0)=1, u(0,1)=2$$u(x, y)$

【分析与解答】

对偏导积分得到 $\frac{\partial u}{\partial x}=\int(1+2 x) d y=y+2 x y+C_{1}(x)$

$u=\int\left[y+2 x y+C_{1}(x)\right] d x=x y+x^{2} y+\int C_{1}(x) d x+C_{2}(y)$

$u(x, 0)=f(x)+C_{2}(0)=1$

$u(0,1)=f(0)+C_2(1)=2=1-c_{2}(0)+c_{2} (1))$

$\therefore u(x, y)=x y+x^{2} y+1-c_{2}(0)+c_{2}(y)$

【例子】 已知 $ z = f(x,y) $ 满足:$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ $f(x, v)=x$ $f(v, y)=y^{2}$,则 $ f(x,y) = ? $

【分析与解答】

$\frac{\partial z}{\partial x}=x y+\frac{y^{2}}{2}+c_{1}(x)$

$z=\frac{x^{2}}{2} y+\frac{x y^{2}}{2}+\int c_{1}(x) d x+c_{2}(y)$

$z(x, 0)=g(x)+c_{2}(0)=x$

$z(0, y)=g(0)+c_{2}(y)=y^{2}$

代入 $ x = y = 0 $

$g(x) + c_2(0) = 0$

所以 $ g(x) + c_2(y) = x+y^2 $

所以

$$
f(x,y) = \frac{1}{2}x^2 y + \frac{1}{2} xy^2 + x + y^2
$$

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