Site Overlay

标量场的曲面积分

基础知识

曲面积分

假定曲面 $ S $ 由向量方程

$$
\mathbf{r}(u, v)=x(u, v) \mathbf{i}+y(u, v) \mathbf{j}+z(u, v) \mathbf{k} \quad(u, v) \in D
$$

那么对每一个曲面微元,对这个微元上一点施加函数 $f$ ,则整个曲面的黎曼和为:

$$
\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f\left(P_{i j}^{*}\right) \Delta S_{i j}
$$

当曲面足够细分,就得到曲面积分

$$
\iint_{S} f(x, y, z) d S=\lim _{m, n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f\left(P_{i j}^{*}\right) \Delta S_{i j}
$$

标量场的曲线积分

第一类曲面积分可以看成求曲面的质量,其各个质点的质量由 $f(x,y,z)$ 给出。

计算原理:

typora\20200605160059_1c6e6564080124ac8109ed197dc53952.png

若曲面函数为 $z(x,y)$ ,在上面取一个曲面微元(上图蓝色),将其投影到 $xOy$ 平面,则有 $\dfrac{S_{曲面}}{S_{投影}} = \cos \theta $,也即

$$
\mathrm{d}x \mathrm{d}y = \cos \theta \mathrm{d}s
$$

那么如何求出这个 $\cos \theta $ 呢?我们可以利用法线。对于每个曲面微元,都可以求出法线。而切平面的法向量与 $z$ 轴的正向夹角就是 $\theta $

typora\20200605161049_d21b50a0a4bdb29a62aef407ade7b960.png

$$
\cos \theta=\frac{\vec{n} \cdot \vec{z}}{|\vec{n}| \cdot|\vec{z}|}
$$

那么怎么求法向量呢?

$F(x,y,z) = f(x,y) - z$ ,则 $\vec{n} = (f_x, f_y, -1)$$\vec{e_z} = (0,0,1)$

所以

$$
\begin{align}
\cos \theta &= \left| \frac{\vec{n} \cdot \vec{e_z}}{|\vec{n}|} \right| \\
&= \frac{1}{\sqrt[]{f_x^2 + f_y^2 + 1}}
\end{align}
$$

带入之前 $\mathrm{d}x \mathrm{d}y = \cos \theta \mathrm{d}s$

得到:

$$
\mathrm{d}s = \sqrt[]{1+ f_x^2 + f_y^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y
$$

所以计算公式就是:

$$
\iint_{\color{red}\Sigma }^{}{\color{green}f(x,y,z)} {\color{blue}\mathrm{d}s} = \iint_{\color{red}D_{xOy}}^{} {\color{green}f(x,y,z(x,y))} {\color{blue}\sqrt[]{1+ f_x^2 + f_y^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y}
$$

通过“降维打击”,把曲面积分转化为了平面(二重)积分。

【例子】 计算 $\iint_{\Sigma }^{} \frac{\mathrm{d}s}{z}$ ,其中 $\Sigma $$x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$$z=h$ 所截形成的球冠。

【分析与解答】

$\Sigma : z = \sqrt[]{a^2 - x^2 - y^2 }$ ,投影区域: $D:x^2 + y^2 \leq a^2 - h^2$

$$
\begin{array}{l}
f_x = -2x \cdot \frac{1}{2}(a - x^2 - y^2)^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{-x}{\sqrt[]{a - x^2 - y^2}}\\
f_y = -2y \cdot \frac{1}{2}(a - x^2 - y^2)^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{-y}{\sqrt[]{a - x^2 - y^2}}
\end{array}
$$

所以

$$
\begin{align}
\iint_{\Sigma }^{} \frac{\mathrm{d}s}{z} &=
\iint_{D}^{} \frac{1}{\sqrt[]{a^2 - x^2 - y^2 }} \sqrt[]{1+\frac{x^2 + y^2}{a - x^2 - y^2}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y\\
&= \iint_{D}^{} \frac{1}{\sqrt[]{a^2 - x^2 - y^2 }} \sqrt[]{\frac{a^2}{a^2 - x^2 - y^2}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y\\
&= \iint_{D}^{} {\frac{a}{a^2 - x^2 - y^2}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y\\
&= 2 \pi a \int_{0}^{\sqrt[]{a^2 - h^2}} \frac{1}{a^2 - r^2} r \mathrm{d}r
\end{align}
$$

$\frac{1}{t} = \frac{a}{a - r^2}$

$\mathrm{d}t = \frac{-2r \mathrm{d}r}{a}$

$r \mathrm{d}r = - \frac{a}{2} \mathrm{d}t$

$$
\begin{aligned}
I=& \pi a \int_{h^{2}}^{a^{2}} \frac{d u}{u} \\
=& \pi a \ln \frac{a^{2}}{h^{2}} \\
&=2 \pi a \ln \frac{a}{h}
\end{aligned}
$$

【例子】

$$
\Sigma:\{(x, y, z) | x+y+z=1, \quad x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\}
$$

$\iint_{\Sigma }^{} y^2 \mathrm{d}s $

【分析与解答】

$$
\begin{array}{l}
z(x, y)=1-x-y \\
z_{x}=-1 \\
z y=-1
\end{array}
$$
$$
\sqrt{1+2 x^{2}+2 y^{2}}=\sqrt{3}
$$
$$
D:\left\{\begin{array}{l}
0
$$
\begin{aligned}
& \iint_{D} y^{2} \sqrt{3} d x y \\
=& \sqrt{3} \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1-x} y^{2} d y \\
=& \sqrt{3} \int_{0}^{1} d x \quad \frac{(1-x)^{3}}{3}
&= \frac{\sqrt[]{3}}{12}
\end{aligned}
$$

1 thought on “标量场的曲面积分

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注