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高数笔记:曲线积分、向量场积分、梯度/旋度/格林/散度定理(上)

基础知识

第一类曲线积分

曲线的线密度为 $\mu (x,y)$ ,那么曲线积分相当于求曲线的质量。其表达式为:

$$
\begin{align}
M &= \lim_{\lambda \to \infty} \sum_{i=1}^{+\infty} \mu (x_i,y_i) \Delta S_i\\
& = \int_{L}^{} \mathrm{d} m = \int_{L}^{} f(x,y,z) \mathrm{d}s
\end{align}
$$

计算原理

若可以用参数方程表示曲线:

$$
L:\left\{\begin{array}{l}
x=x(t) \\
y=y(t)
\end{array}\right.
$$

则被积函数可以表示为 $f(x(t), y (t))$ ,从而可以转变为单变量的积分。

对于 $\mathrm{d}s$ (曲线微元)当 $ \mathrm{d}x \mathrm{d}y $足够小的时候, $\mathrm{d} s = \sqrt[]{(\mathrm{d}x)^2+ (\mathrm{d}y)^2} = \sqrt[]{(x'_t)^2+ (y'_t)^2} \mathrm{d}t $

所以弧长的积分可以表示为

$$
I = \int_{\alpha}^{\beta} f\left(x(t), y(t)\right) \sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(x)\right)^{2}} \mathrm{d} t
$$

向量场的积分

原理

如果有一个力场 $\vec{F}(x,y,z)$ ,质点沿着光滑有向弧线 $C$ 受力匀速运动,我们如何求出 $F$ 所做的功呢?

我们可以把 $C$ 分解为一系列的子弧线 $P_{i-1}P_i$ ,每段的长度是 $\Delta s_i$ ,任取子弧线上一点 $\vec{F} _ { i }\left(x_{i}^{ * }, y_{i}^{ * }, z_{i}^{ * }\right)$ 。我们用 $\vec{T} \left(x_{i}^{ * }, y_{i}^{ * }, z_{i}^{ * }\right)$ 表示这一点的切向单位向量,则功的微元为:

$$
\left[\mathbf{F}\left(x_{i}^{*}, y_{i}^{*}, z_{i}^{*}\right) \cdot \mathbf{T}\left(x_{i}^{*}, y_{i}^{*}, z_{i}^{*}\right)\right] \Delta s_{i}
$$

所以做的总功可以表示为:

$$
W=\int_{C} \mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{T}(x, y, z) \mathrm{d} s=\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} \mathrm{d} s
$$

如何计算?

假设 $ C $ 通过向量方程 $\mathbf{r}(t)$ 给出, $a \leq t \leq b$ ,则积分可表示为:

$$
\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}=\int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} \mathrm{d} s
$$

向量场的分解积分法

$$
\begin{aligned}
\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} &=\int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t) \mathrm{d} t \\
&=\int_{a}^{b}(P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k}) \cdot\left(x^{\prime}(t) \mathbf{i}+y^{\prime}(t) \mathbf{j}+z^{\prime}(t) \mathbf{k}\right) \mathrm{d} t \\
&=\int_{a}^{b}\left[P(x(t), y(t), z(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t), z(t)) y^{\prime}(t)+R(x(t), y(t), z(t)) z^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t
\end{aligned}
$$

可以发现分解为了三个线积分。即是:

$$
\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}=\int_{C} P \mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y+R \mathrm{d} z \quad \text { where } \mathbf{F}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k}
$$

梯度定理

微积分基本定理有:

$$
\int_{a}^{b} F^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)
$$

由于梯度向量方程 $\nabla f$ 也是 $f$ 的某种形式的偏导数,直接带入可以得到:

$$
\int_{C} \nabla f \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}=f(\mathbf{r}(b))-f(\mathbf{r}(a))
$$

此为曲线积分基本定理。

这说明,对于一个保守向量场,我们可以通过起点和终点直接计算出曲线积分。

【例子】 现有重力场 $\mathbf{F}(\mathbf{x})=-\dfrac{GMm}{|\mathbf{r}|^{3}} \mathbf{r}$ ,质点质量为 $m$,从 $ (3,4,12) $ 沿着某个光滑曲线移动到 $(2,2,0)$ ,求做的功。

解:设 $\mathbf{F} = \nabla f$ 对重力场积分,得到 $f = \frac{GMm}{r}$

$$
\begin{aligned}
W &=\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}=\int_{C} \nabla f \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \\
&=f(2,2,0)-f(3,4,12) \\
&=\frac{GMm}{\sqrt{2^{2}+2^{2}}}-\frac{GMm}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+12^{2}}}=GMm\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}-\frac{1}{13}\right)
\end{aligned}
$$

定理 如果 $\mathbf{F}$ 是一个开放连通域 $ D $ 的连续的向量场,并且 $\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}$ 与路径 $D$ 无关,那么 $\mathbf{F}$$D$ 上的保守场,且存在 $f$ 使得 $\nabla f = \mathbf{F}$

定理 如果 $\mathbf{F}(x, y)=P(x, y) \mathbf{i}+Q(x, y) \mathbf{j}$$ P,Q $ 一阶连续可偏导,则在可导域 $D$ 有:

$$
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
$$

格林定理

使 C 是一个正向的光滑的,简单的平面上的闭合曲线,且为 $D$ 的边界,$ P, Q $$ D $ 有连续偏导数,则

$$
\int_{C} P \mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} A
$$

向量形式:

$$
\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\iint_{D}(\operatorname{curl} \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k} d A
$$

【例子】 曲线 $C$ 和域 $ D $ 如图。求 $ \int_{C}^{}x^4 \mathrm{d}x + xy \mathrm{d}y$

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解:

$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = y\\
\frac{\partial P}{\partial y} = 0
$$
$$
\begin{aligned}
\int_{C} x^{4} \mathrm{d} x+x y \mathrm{d} y &=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} A=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}(y-0) \mathrm{d} y \mathrm{d} x \\
&=\int_{0}^{1}\left[\frac{1}{2} y^{2}\right]_{y=0}^{y=1-x} \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{1}(1-x)^{2} \mathrm{d} x \\
&\left.=-\frac{1}{6}(1-x)^{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{6}
\end{aligned}
$$

旋度和散度

旋度的定义

旋度描写了向量场上某一点附近向量的蜷曲程度

$$
\operatorname{curl} \mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathbf{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathbf{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathbf{k}
$$

对于向量场 $\mathbf{F}$ ,由于:

$$
\begin{aligned}
\nabla \times \mathbf{F} &=\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \\
&=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathbf{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathbf{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathbf{k} \\
&=\operatorname{curl} \mathbf{F}
\end{aligned}
$$

所以:

$$
\operatorname{curl} \mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}
$$

旋度定理

$S$是分片光滑的有向曲面,$S$的边界为有向闭曲线$Γ$,即$\Gamma=\partial S$,且$Γ$的正向与$S$的侧符合右手规则: 函数$P(x,y,z)$$Q(x,y,z)$$R(x,y,z)$都是定义在“曲面$S$连同其边界$Γ$”上且都具有一阶连续偏导数的函数,则有:

$$
\iint_{S}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz
$$

简写成:

$$
\int_{S} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
$$

这表明,某个旋度 $\nabla \mathbf{F}$ 通过曲面的总通量,等于这个向量沿着曲面的封闭边界的路径积分。

散度定理

散度定理表明,某个区域流出量的通量,等于散度在曲面围起来的体积上的积分,也即等于所有流出点和流入点量的差。表达式为:

$$
\iiint_{\Omega} \operatorname{div} \mathbf{A} d v=\oiint_{\Sigma} \mathbf{A} \cdot \mathbf{n} d S
$$

题型

直接给出参数方程的

【例子】

若积分区间为圆周

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \cos t \\
y=a \sin t
\end{array}\right.
$$

其中,$0 \leq t \leq 2 \pi $ ,求 $\oint_{L}^{}(x^2+y^2)^n \mathrm{d}s$

【分析与解答】

$$
\begin{array}{l}
\oint_L\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n} \mathrm{d} s \\
=\int_{0}^{2 \pi}\left[(a \cos t)^{2}+(a \sin t)\right]^{n} \cdot \sqrt{a^{2} \sin ^{2} t+a^{2} \cos ^{2} t} \mathrm{d} t \\
=\int_{0}^{2 \pi} a^{2 n+1} \mathrm{d} t \\
=2 \pi a^{2 n+1}
\end{array}
$$

【例子】 Find the work done by the force field $\mathbf{F}(x, y)=x^{2} \mathbf{i}-x y \mathbf{j}$ in moving a particle along the quarter-circle $\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}, 0 \leqslant t \leqslant \pi / 2$

解:

$$
\begin{align}
\int_{C}^{} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{r}
&= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t) \mathrm{d}t\\
&= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} (\cos ^2t \vec{i} - \sin t \cos t \vec{j})(- \sin t \vec{i} + \cos t \vec{j}) \mathrm{d}t\\
&= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} (\cos ^2t, -\sin t \cos t) \cdot (-\sin t , \cos t) \mathrm{d} t \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} - 2\sin t \cos ^2 t \mathrm{d}t\\
&= 2 \left.\frac{\cos ^3 t}{3}\right|_0^\frac{\pi }{2}\\&= - \frac{2}{3}
\end{align}
$$

普通题

【例子】 计算 $\oint_{L}^{} \sqrt[]{y} \mathrm{d}s$ ,其中 $ L $$ y = x^2$ 上的 $(0,0)$$ (1,1) $ 之间的曲线。

【分析与解答】

$ds = \sqrt[]{1+(y'(X)^2)} \mathrm{d}x= \sqrt[]{1+4x^2} \mathrm{d}x$

$$
\begin{align}
\oint_{L}^{} \sqrt[]{y} \mathrm{d}s &= \int_{0}^{1} |x| \sqrt[]{1+4x^2} \mathrm{d}x\\
& \text{ 令 } u = 1+4x^2 \text{ 则 } du = 8x \mathrm{d}x\\
&= \int_{0}^{5} u ^{\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{d}u}{8}\\
&= \frac{1}{8} \left.(\frac{u^{3/2}}{3/2} )\right|_0^5\\
&= \frac{1}{8} \frac{2}{3} 5^{\frac{3}{2}} - 1\\
&= \frac{5\sqrt{5}-1}{12}
\end{align}
$$

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