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高数笔记:三重积分

要复习的科目太多了,感觉自己要凉凉。

基础知识

计算原理

$$
\begin{array}{l}
\iiint_{\Omega} f(x, y, z)\mathrm{d}v \\
=\int_{c}^{d}\mathrm{d}y \int_{x_1(y)}^{x_{2}(y)}\mathrm{d}x \int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z)\mathrm{d}z
\end{array}
$$

穿线法

【例子】 计算 $\iiint_{\Omega} y\mathrm{d}v,$ 其中 $\Omega$ 是由三个坐标平面及平面
$x+2 y+z=1$ 围成的立体。

【分析与解答】 我们使用先一后二的方法。用一根线穿过 $xOy$ 平面,通过线能够存在的范围推出 $x,y$ 的取值范围:

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根据平面的表达式,也可以推出 $z$ 的取值范围:$0 \leq z \leq 1 - x -2y$

$$
\begin{array}{l}
=\int_{0}^{1}\mathrm{d}x \int_{0}^{\frac{1-x}{2}}\mathrm{d}y \int_{0}^{1-x-2 y}\mathrm{d}z \\
=\left.\int_{0}^{1}\mathrm{d}x \int_{0}^{\frac{1-x}{2}}\mathrm{d}y \quad y z\right|_{z=0} ^{z = 1-x-2 y} \\
=\int_{0}^{1}\mathrm{d}x \int_{0}^{\frac{1-x}{2}}\left(y-x y-2 y^{2}\right)\mathrm{d}y\\
=\int_{0}^{1}\mathrm{d}x \frac{y^{2}}{2}-\frac{x y}{2}-\frac{2 y 3}{3} |_{y=0}^{ y=\frac{1-x}{2}}\\
=\int_{0}^{1}\left(\frac{1-x}{2}\right)^{2}-\frac{x}{2}\left(\frac{1-x}{2}\right)-\frac{2}{3}\left(\frac{1-x}{2}\right)^{3}\mathrm{d}x \\
=\frac{1}{96}
\end{array}
$$

截面法

【例子】 计算 $\iiint_{\Omega} z \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z,$ 其中 $\Omega$ 是由 $z=x^{2}+y^{2}$$z=1$ 围成的区域。

把整个区域投影到 $xOy$ 平面,可写出范围:

$$
\left\{\begin{array}{c}
-1 \leqslant x \leqslant 1 \\
-\sqrt{1-x^{2}} \leqslant y \leqslant \sqrt{1-x^{2}}
\end{array}\right.
$$

积分表达式:

$$
\int_{-1}^{1} d x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} d y \int_{x^{2}+y^{2}}^1 d z
$$

柱面法

【例子】

$$
\iiint_{\Omega} x^{2}+y^{2} d v
$$

其中 $\Omega$ 是由 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$$z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体。

【分析与解答】

首先求投影。联立两个方程,可以推出:$x^2+y^2 = 1$ 所以投影区域是 $x^2+y^2 \leq 1$ 以及 $z = 0$

$xOy$ 穿线,可以发现z 的范围是 $[x^2+y^2, \sqrt[]{2-x^2-y^2}]$

$$
\int_{D x O y} d x d y \int_{x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} x^{2}+y^{2} d z
$$

极坐标换元,得到

$$
\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{1} r d r \int_{r^{2}}^{\sqrt{2-r^{2}} }p^{2} d z
$$

此为柱面坐标的积分表达式。

【例子】

求底半径为 $ a $ 且高为 $ h $ 的匀匀圆体关于中心轴的转动惯量(设密度为 $\rho $ ) .

【分析与解答】

转动惯量的表达式为:

$$
I_{z}=\iiint_{\Omega }\left(x^{2}+y^{2}\right) \mu(x, y, z) \mathrm{d} v
$$

对于本题:

$$
I_{z} = \iiint_{\Omega }\left(x^{2}+y^{2}\right) \rho \mathrm{d} v
$$

也即

$$
\begin{align}
& \rho \int_{0}^{2 \pi }\mathrm{d}\theta \int_{0}^{a} r \mathrm{d}r \int_{0}^{h}r^2 \mathrm{d}z\\
&= \rho \int_{0}^{2 \pi }\mathrm{d}\theta \int_{0}^{a} r \mathrm{d}r r^2h\\
&= \rho \int_{0}^{2 \pi }\mathrm{d}\theta \int_{0}^{a} r^3h \mathrm{d}r \\
&= \rho \int_{0}^{2 \pi }\mathrm{d}\theta \frac{a^4}{4}h\\
&= \rho 2 \pi \frac{a^4}{4}h\\
&= \rho \pi \frac{a^4}{2}h
\end{align}
$$

【例子】

求底半径为 $ a $ 且高为 $ h $ 的匀匀圆锥体关于中心轴的转动惯量(设密度为 $\rho $ ) .

【分析与解答】

转动惯量的表达式为:

$$
I_{z}=\iiint_{\Omega }\left(x^{2}+y^{2}\right) \mu(x, y, z) \mathrm{d} v
$$

对于本题:

$$
I_{z} = \iiint_{\Omega }\left(x^{2}+y^{2}\right) \rho \mathrm{d} v
$$

也即

$$
\begin{align}
& 2 \pi \rho \int_{0}^{a} r \mathrm{d}r \int_{r \frac{h}{a}}^{h} r^2 \mathrm{d}z\\
&= 2 \pi \rho \int_{0}^{a} r \mathrm{d}r (r^2h - r^3 \frac{h}{a})\\
&= 2 \pi \rho \int_{0}^{a} r^3h - r^4 \frac{h}{a} \mathrm{d}r\\
&= 2 \pi \rho( \frac{a^4}{4}h - \frac{a^5}{a}h)\\
&= \frac{\pi \rho a^4h}{10}
\end{align}
$$

]

球面法

球面坐标点用 $M(r ,\theta, \varphi )$ 表示,$ \theta $ 是径矢与 $ x $ 轴的夹角。 $\varphi $ 是径矢与 $z$ 轴的夹角。

则:

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=r \cdot \cos \theta=p \sin \varphi \cos \theta \\
y=r \cdot \sin \theta=p \sin \varphi \sin \theta \\
z=r \cdot \cos \varphi
\end{array}\right.
$$

【例子】 计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) d v,$ 其中 $\Omega$$x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$$x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4$ 的公共部分。

【分析与解答】

$$
\begin{aligned}
V &=\int_{0}^{\pi} d \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi d \varphi \int_{0}^{2} r^{2} \sin ^{2} \varphi r^{2} d r \\
&=\int_{0}^{\pi} d \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{3} \varphi d \varphi \int_{0}^{2} r^{4} d r \\
&=\left.\frac{\pi}{2} \cdot\left(\frac{\cos ^{3} p}{3}-\cos \varphi\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{2^{5}}{5} \\
&=\frac{16}{5} \pi \cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{32}{15} \pi
\end{aligned}
$$

对称法

【例子】 计算 $\iiint_{\Omega }^{} (x+z) \mathrm{d}v$$\Omega $$z = \sqrt[]{x^2 + y^2}$$z = \sqrt[]{1 - x^2 - y^2}$ 所围成的区域。

【分析与解答】 可以分为 $\iiint_{\Omega }^{} x \mathrm{d}v$$\iiint_{\Omega }^{} z \mathrm{d}v$ 两部分求解。

$f(x,y,z) = - f(x,y,z)$ 它是关于 $x$ 的奇函数,所以 $\iiint_{\Omega }^{}x \mathrm{d} v= 0 $ 后略。

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