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物理学基础 10:波动.md

基本概念

横波与纵波

横波:

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纵波:

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波长

横波两个波峰之间的距离等于波长。

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纵波两个密集部分的距离等于波长。

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周期、频率、波速

周期 $T$ 为波传播单位波长所需时间。频率 $\nu$ 为其倒数,即单位时间所能传播的波数目。记波速为 $u$ ,则有:

$$
u = \lambda \nu
$$

波线、波面、波前

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平面简谐波的波函数

平面波的一般式为:

$$
y = f(\vec{x}, t) = { A\cos(2\pi ({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega \cdot t+\delta ))}
$$

$\vec{k}$ 为波数(单位长度内的波长数目)矢量。

可以发现,平面波波函数表示的是:质元横坐标 $x$,质元纵坐标 $y$,与质元运动时间 $t$ 的约束关系。

例如:当 $x$ 固定时,研究对象相当于横坐标为 $x$ 的一个质元的纵坐标 $y$ 与运动时间的关系,我们会发现它是上下往复运动的。

  • 什么是波程差?

取波上所有质元中横坐标不同的两点 $x_1$$x_2$,他们的横坐标距离之差 $x_2 - x_1$ 就是波程差。

显然,波程差除以波长,就能得到单位波长的波的数目也就是波数。所以波程差和相位差的关系是:

$$
\Delta \phi = 2 \pi \frac{\Delta x}{\lambda }
$$

波的能量

应变: 弹性介质中,质元沿纵波传播方向受到相邻质元的内力(拉力或压力)作用而相应地发生伸长或压缩形变,其形变量与质元原有长度之比。

应力: 物体受外力作用而发生形变时,其内部会产生内力,此内力与作用而的面积之比称为应力。如内力沿作用面的法线方向,则称相应的应力为正应力。

质元机械能:

$$
\begin{align}
dE&=dE_{k}+dE_{p}\\
&=\rho A^{2}\omega^{2}sin^{2}[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi_{0}]dV
\end{align}
$$

能量密度:质元机械能与体积微元的比。

$$
\begin{align}
\rho A^{2}\omega^{2}sin^{2}[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi_{0}]
\end{align}
$$

平均能量密度:

$$
\bar{w} = \frac{1}{2} \rho A^2 \omega ^2
$$

能流: 单位时间通过截面的能量。

$$
P = wuS
$$

驻波

建议看这个视频:https://www.bilibili.com/video/BV15b411B7c3/ 从一分钟开始看。

现有两列传播方向相反的波:

$$
\begin{array}{l}
y_{1}=A \cos \left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\varphi_{1}\right] \\
y_{2}=A \cos \left[\omega\left(t+\frac{x}{u}\right)+\varphi_{2}\right]
\end{array}
$$

$$
y=y_{1}+y_{2}=2 A \cos \left(\frac{2 \pi}{\lambda} x+\frac{\varphi_{2}-\varphi_{1}}{2}\right) \cdot \cos \left(\omega t+\frac{\varphi_{2}+\varphi_{1}}{2}\right)
$$

$\varphi _1 = \varphi _2 = 0$ ,则 $ y=2 A \cos \frac{2 \pi}{\lambda} x \cos \omega t $

其中 $\frac{2 \pi }{\lambda }$ 就是波数。驻波的波形、相位和能量都不发生传播。

振幅具有最大值的地方称为波腹,振幅一直为零的地方叫做波节

多普勒效应

波源频率 $ f $,接收到频率 $ f' $,则接近时,$ f' > f $,远离时 $ f ' < f $

计算公式 $ \lambda = \dfrac{v \pm u}{f'} = \dfrac{v}{f}$ 接近取 $ + $

半波损失

  1. 波密介质到波疏介质,反射点无相位突变,形成驻波时该处为波腹。
  2. 波疏介质到波密介质,反射点相位突变 $ \pi $,形成驻波时该处为波节。

【例子】 若有波:$ y_{1}=A \cos \left(\omega t-\frac{2 \pi x}{\lambda}\right)$ ,在 $x = L$ 处遇到波密介质发生反射,求反射波表达式。

解:

$ y_2 = A \cos (\omega (t - \frac{x}{u}) + \varphi ) $

$$
y_b = y_1(x = L) = A \cos (\omega t - \frac{2 \pi L }{ \lambda })
$$
$$
y_{b 反} = A \cos (\omega t - \frac{2 \pi L }{ \lambda } {\color{red}{+ \pi }})
$$

对反射波出去之后到达的 $ x $ 点,$ \Delta t = \frac{L - x}{u} $

$$
y_{反} = A \cos (\omega ({\color{#03f}t - \frac{L - x}{u}}) - \frac{2 \pi L }{ \lambda } {\color{red}{+ \pi }})
$$

整理得到

$$
y_反 = A \cos \omega (t + \frac{x}{u} - \frac{4 \pi L}{\lambda } + \pi )
$$

【例子】 如图所示,$x=0$ 处有一运动方程为 $ y = A \cos \omega t $ 的平面波波源,产生的波沿x轴正、负方向传播.MN为波密介质的反射面,距波源 $3λ/4$.求:(1)波源所发射的波沿波源O左右传播的波动方程;(2)在MN处反射波的波动方程;(3)在O~MN 区域内形成的驻波方程,以及波节和波腹的位置;(4)x>0区域内合成波的波动方程.

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【分析与解答】

(1)设波速 $u$ ,则左边产生的波是 $ y = A \cos \omega( t + \frac{x}{u}) $,右边产生的波是 $ y = A \cos \omega(t - \frac{x}{u}) $

(2)当左边的波到达 $P$ 时,质点的运动方程为 $y_p = A \cos \omega( t - \frac{\frac{3}{4}\lambda }{u})$

波数 $k = \frac{\omega }{u} = \frac{2 \pi }{\lambda }$ ,代入上式得到 $y_p = A \cos (\omega t - \frac{3}{2} \pi )$

反射并发生半波损之后是 $y_{p反} = A \cos (\omega t - \frac{3}{2} \pi + \pi ) = A \cos (\omega t - \frac{\pi }{2})$

对于反射波出去之后到达的任意点 $x$$\Delta t = \frac{\frac{3}{4} \lambda - x}{u}$

$$
\begin{align}
y_{p反} &= A \cos (\omega (t - \Delta t) - \frac{\pi }{2})\\
& = A \cos (\omega t - \frac{2 \pi }{\lambda } ({\frac{3}{4} \lambda - x}) - \frac{\pi }{2})\\
&= A \cos (\omega t - \frac{4}{2} \pi + \frac{2 \pi }{\lambda }x)\\
&= A \cos (\omega t - \frac{2 \pi }{\lambda } x)
\end{align}
$$

【例子】 如图所示,$x=0$ 处有一运动方程为 $ y = A \cos \omega t $ 的平面波波源,产生的波沿x轴正、负方向传播.MN为波密介质的反射面,距波源 $3λ/4$.求:(1)波源所发射的波沿波源O左右传播的波动方程;(2)在MN处反射波的波动方程;(3)在O~MN 区域内形成的驻波方程,以及波节和波腹的位置;(4)x>0区域内合成波的波动方程.

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【分析与解答】

(1)设波速 $u$ ,则左边产生的波是 $ y = A \cos \omega( t + \frac{x}{u}) $,右边产生的波是 $ y = A \cos \omega(t - \frac{x}{u}) $

(2)当左边的波到达 $P$ 时,质点的运动方程为 $y_p = A \cos \omega( t - \frac{\frac{3}{4}\lambda }{u})$

波数 $k = \frac{\omega }{u} = \frac{2 \pi }{\lambda }$ ,代入上式得到 $y_p = A \cos (\omega t - \frac{3}{2} \pi )$

反射并发生半波损之后是 $y_{p反} = A \cos (\omega t - \frac{3}{2} \pi + \pi ) = A \cos (\omega t - \frac{\pi }{2})$

对于反射波出去之后到达的任意点 $x$$\Delta t = \frac{\frac{3}{4} \lambda - x}{u}$

$$
\begin{align}
y_{p反} &= A \cos (\omega (t - \Delta t) - \frac{\pi }{2})\\
& = A \cos (\omega t - \frac{2 \pi }{\lambda } ({\frac{3}{4} \lambda - x}) - \frac{\pi }{2})\\
&= A \cos (\omega t - \frac{4}{2} \pi + \frac{2 \pi }{\lambda }x)\\
&= A \cos (\omega t - \frac{2 \pi }{\lambda } x)
\end{align}
$$

(3) 代入 $x = \frac{3}{4} \lambda $

$$
y' = A \cos (\omega - \frac{3}{2} \pi )
$$

【例子】

两相干波源 S1 和 S2 的振动方程分别是 $ y_1 = A \cos \omega t $$ A \cos ( \omega t + \frac{\pi }{2} ) $ .S1距P点 3 个波长,S2距P点 21/4 个波长.两波在P点引起的两个振动的相位差是?

【分析与解答】

$ S_1 $ 在 P 点引起的振动相位: $ - 6 \pi $

$ S_2 $ 在 P 点引起的振动相位: $ \frac{\pi }{2} - \frac{21}{4} \cdot 2 \pi = - 10 \pi $

相位差 $ 10 - 6 = 4 \pi $

【例子】 一平面简谐波在 t 时刻的波形图如图 2 所示,此时能量最大的质元位置有?

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【分析与解答】

考虑动能,每个点分析上下方向的受力,显然平衡位置加速度为 0,所以和坐标轴的交点那些地方能量最大。

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动能和势能为啥可以同时达到最大?
这里容易陷入误区,错误地只分析单个质元。其实要考虑质元之间的牵拉,在平衡位置处,被拉的最厉害,所以势能也是最大。

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