收敛级数具有哪些性质？
- 乘以常数，依然收敛。
- 互相加减，依然收敛。
- 增减有限项，依然收敛。
- 任意加括号，依然收敛。
- 一般项 $u_n$ 趋于零。
如何判断级数收敛？
柯西审敛原理
这是一种基础但是实际不常用的方法。它的原理是，当 m 非常大的时候，从 m 起的连续任意项求和等于零。
【例子】 判断 $\Sigma_{n=1}^{\infin}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ 的收敛性。
解：设 $p$ 是任意自然数。
若 $p$ 是偶数：
\begin{aligned}
&\left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}\right|\\
&=\left|\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}-\dots-\frac{1}{n+p}\right|\\
&=\left| \frac{1}{n+1}-\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right) \cdots-\frac{1}{n+p}\right|\\
&<\frac{1}{n+1} \end{aligned} $$
$p$ 奇数同理。
所以：
|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}|<\frac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n} $$
$\forall \varepsilon >0 \ \forall p \in\N $ ，取 $N\geq \left[\dfrac{1}{\varepsilon}\right]+1$，则当 $n>N$ 时，$|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}|<\varepsilon $成立。
可以发现，这个 $N$ 是通过前面的放缩来找的。 其中省略的思考过程如下：
|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}| < \frac{1}{n} < \varepsilon $$
则
\frac{1}{\varepsilon} < n $$
\left[\frac{1}{\varepsilon} \right]+1\leqslant N < n $$
注：对于正数的取整加一，其实就是向上取整。
【例子】 判断 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin 2^n}{2^n}$ 收敛
\begin{aligned}
\left|\sum_{k=m+1}^{m+p} \frac{ \sin 2^{k} } {2^{k}}\right|
< \sum_{k=m+1}^{m+p} \frac{1} {2^{k}} <\frac{1}{2^{m}} < \varepsilon \end{aligned} $$
所以
\frac{1}{\varepsilon} < 2^m $$
$m>N$ 时，有 $2^m>2^N$ ，所以可以写：
\frac{1}{\varepsilon} < 2^N < 2^m $$
从而有：
\frac{1}{\varepsilon} < 2^N \to -\log_{2} \varepsilon < N $$
所以取 $N = \left[-\log_{2} \varepsilon \right]$ 就行了。（为啥这里取整又不 +1 了？因为这是负数，取整就相当于向上取整了。）
（这些过程是思考的过程，答题的时候直接写取 $N$。）
比较审敛法
比较审敛法概括起来就是：更大的收敛那么小的也收敛。更小的发散那么大的就发散。类似证明不等式的放缩法。下面看例子：
【例子】 判断敛散性 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2n+1}{(n+1)(n+2)(n+3)}$
解：可以用一个同阶的 $\frac{1}{n^2}$ 来判断。所以：
\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n+1}{(n+1)(n+2)(n+3)}}{\frac{1}{n^2}} = 2
$$
所以收敛。
这里我们可以总结出一个规律：如果要比较的级数是 $u_n$，参考级数是 $v_n$，记 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l$ 那么：
-
如果 $l$ 是大于零的常数 ，说明 $u_n$ $v_n$ 是同阶的，也就是敛散性相同。
-
如果 $l = 0$ ，说明 $v_n$ 更高阶。那么更高阶的 $v_n$ 都收敛的话，更低阶的 $u_n$ 自然也收敛。
-
如果 $l = \infty$ ，说明 $v_n$ 更低阶。那么更低的 $v_n$ 都发散的话，更高阶的 $u_n$ 就更发散了。
我们来做下一道题：
【例子】判断敛散性 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n, u_n = \left( \dfrac{1}{n} - \ln \dfrac{n+1}{n} \right)$
这道题看似复杂，其实不然，其实只要我们能找到一个收敛级数 $v_n$，使得：
0 < u_n < v_n $$
那么自然 $u_n$ 也是收敛的了。所以怎么找呢？用高中学过的不等式 $\ln(1+x) < x$ 即可。
首先进行恒等变换：
-\ln \dfrac{n+1}{n} = \ln \frac{n}{n+1} = { \color{blue} \ln( 1 - \frac{1}{n+1})}
$$
然后当 $\ x \ne 0 \and {-1 < x < +\infty}$
\begin{align}
\ln( 1 + x ) < x\ \\ { \color{blue} \ln( 1 - \frac{1}{n+1})}< -\frac{1}{n+1} \end{align} $$
所以
0 < {\color{blue}\dfrac{1}{n} - \ln \dfrac{n+1}{n}} < \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$
而 $v_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ 可以通过裂项求和发现是收敛的。所以比它小的 $u_n$ 也是收敛的。
达朗贝尔判别法
实际上就是通过相邻一般项的比值进行判断。 它是比较审敛法的一种延伸。
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\rho
$$
通过 $\rho$ 可以看出相邻项的高低阶关系。如果后一项比前一项低阶，或者同阶但更小，也就是 $\rho < 1$，级数自然就收敛（比如等比数列公比小于 1 的情况）。高阶则发散，同阶则无法判断。
【例子】 判断敛散性 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n, a_n = \frac{(n!)^2}{2^{n^2}}$
带入可知 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{{a_n}} = 0$ 所以是收敛的。
【例子】 判断敛散性 $\sum_{n=1}^{+\infty} 2^n \sin \frac{\pi }{3^n} $
这题的 $\sin$ 看上去不太好处理。所以可以直接放缩。$2^n \sin \frac{\pi }{3^n} < 2^n \frac{\pi }{3^n}$ 这样的等比数列收敛，所以题给数列也收敛。
也可以用比值判别法，实际上就是求出公比（极限情况）小于 1。
积分判别法
【例子】 判断敛散性 $\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p},\ (p>1)$
我们可以利用级数收敛则相应通项函数积分收敛来测试其敛散性。（注：必须满足 $x > 1$ 时单调递减 ）
先求积分 $\int_{x=3}^{+\infty } \frac{1}{x(\ln x)^p} \mathrm{d} x$
令 $t = \ln x $，则 $x = e^t$
\begin{align}
I &= \int_{x=3}^{+\infty } \frac{1}{x(\ln x)^p} \mathrm{d} x\\
&= \int_{t=\ln 3}^{+\infty } \frac{1}{e^t t^p} \mathrm{d} e^t\\
&= \int_{t=\ln 3}^{+\infty } \frac{1}{ t^p} \mathrm{d} t\\
&= \int_{t=\ln 3}^{+\infty } t^{-p} \mathrm{d} t\\
&= -\frac{t^{1-p}}{1-p} |_{\ln 3}^{\infty}\\
&= -\frac{(\ln3)^{1-p}}{1-p}
\end{align}
$$
这是一个常数。因此级数收敛。
根值判别法
根值判别法也是比较审敛法的一种延伸。它的本质还是比较阶。
我们令 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=l$
那么如果 $l > 1$，说明 $a_n$ 比等比级数 $q^n$ 高阶，发散。
如果 $l < 1$，说明 $a_n$ 比等比级数 $q^n$ 低阶，收敛。
$l = 1$ 时无法判断。
【例子】 判断敛散性 $ \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}$
答：
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2 n+1}=\frac{1}{2}<1 $$
所以是收敛的。
莱布尼茨判别法
首先引入交错级数的概念：
形如 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}$ 的级数，称为交错级数。
绝对收敛：级数收敛，级数的每项套上绝对值之后收敛，那么该级数绝对收敛。
条件收敛：级数收敛，级数的每项套上绝对值之后不收敛，那么该级数条件收敛。
【例子】 判断敛散性和收敛条件
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots
$$
设 $u_n = \frac{1}{n}$，由于该级数满足：
- $u_n>u_{n+1}$
- $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$
所以它是收敛的。余项 $\left|{r}_{{n}}\right| \leq {u}_{{n}+1}=\frac{1}{{n}+1}$ 。
每项套上绝对值之后就是调和级数，调和级数发散。所以它是条件收敛。