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物理学基础 9:振动

简谐振动

推导

对于一个弹簧振子,以平衡位置为原点建立一维坐标系。则对任意位置 $\vec{x}$,对应的回复力为

$$
{F} = -k {x}
$$

根据牛顿第二定律:

$$
F=ma=m{\frac {{\mathrm {d}}^{2}x}{{\mathrm {d}}t^{2}}}
$$

两式联立消去 $F$

$$
kx+m{\frac {{\mathrm {d}}^{2}x}{{\mathrm {d}}t^{2}}} = 0
$$

解这个微分方程,可得:

$$
x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)
$$

于是我们得到了简谐运动关于时间 $t$ 的方程:

$$
x = A\cos \left(\omega t-\varphi \right)
$$

其中

$$
\begin{align}
\omega &={\sqrt {{\frac {k}{m}}}}\\
A &={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}\\
\tan \varphi &=\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right)
\end{align}
$$

$A$ 称为振幅。

$\omega$ 称为角频率。

$\phi $ 称为初相位。

速度,加速度,初相位的计算

$$
\begin{array}{l}
v=\frac{d x}{d t}=-\omega A \sin (\omega t+\varphi) \\
a=\frac{d^{2} x}{d t}=-\omega^{2} A \cos (\omega t+\varphi)
\end{array}
$$

带入 $t= 0$ 可以得到

$$
\cos \varphi=\frac{x_{0}}{A} \quad \sin \varphi=\frac{v_{0}}{-\omega A}
$$

另有:

$$
\begin{aligned}
A &=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}} \\
\varphi &=\arctan \left(-\frac{v_{0}}{\omega x_{0}}\right)
\end{aligned}
$$

旋转矢量法

旋转矢量法在电路中的相量法就已经用过了。其原理是,正弦波可以被理解成复平面上的旋转矢量在实轴上的投影正弦波的叠加可以理解为复平面上的旋转矢量相加后在实轴上的投影

对于旋转矢量法,旋转矢量在 $x$ 轴的投影表示位移,矢量端点的切向的投影表示速度,所以三四象限速度投影为正。加速度的投影表示端点的加速度,所以位移方向和加速度方向是相反的。

旋转矢量。引用自维基百科。

【例子】 质点做简谐运动,振幅 $0.08m$,周期 $4s$,初始位置 $x = 0.04m$,初始运动方向:$O_x$ 轴负方向。质点质量 $m = 0.01kg$

  1. $t = 1.0s$ ,物体位置和受力大小。
  2. 求运动到 $x = -0.04m$ 所需最短时间。

设运动方程:

$$
x = A\cos \left(\omega t+\varphi \right)
$$

根据已知条件,可得 $A = 0.08$$\omega = \frac{2 \pi }{T} = \frac{\pi}{2}$

$$
0.04 = 0.08 \cos (\frac{\pi }{2}\cdot 0 + \varphi)\\
\frac{1}{2} = \cos \varphi\\
\varphi = \frac{\pi}{3}
$$

所以运动方程为:

$$
x = 0.08 \cos (\frac{\pi }{2}t + \frac{\pi}{3})\\
$$

$t = 1.0s$ 时,

$$
x = 0.08 \cos (\frac{\pi }{2} + \frac{\pi}{3}) = 0.08 \cos (\frac{\pi }{6}) = 0.04 \sqrt[]{3} = 0.0693
$$
$$
F = - m \omega^2 x = - 0.01 \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot 0.0693 = - 0.0017N
$$

要运动到 $x = -0.04$ 则至少应该旋转向量至 $\dfrac{2}{3}\pi$ 位置。

$$
\frac{2}{3}\pi = \frac{\pi }{2}t + \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = 0.6667
$$

综上所述,

  1. $t = 1.0s$ ,物体位置 $ x = 0.0693m$,受力大小 $ |F| = 0.0017N$
  2. 运动到 $x = -0.04m$ 所需最短时间 $t = 0.6667 s$

单摆、复摆模型

  • 什么是单摆?

质点被柔软细绳牵引,绕固定点进行小角度的摆动。

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对于单摆 $g = \omega ^2 l $$l$ 为绳长,$\omega $为角频率。 。

  • 什么是复摆?

质点系绕固定点进行小角度的摆动。

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对于复摆, $mgl = J \omega ^2$

简谐振动能量

简谐振动的总能量为 $E = \frac{1}{2} kx_{max}^2$ ,也即 $E = \frac{1}{2} kA^2$ 。可以分解为两部分:动能和势能。

$$
E_k = E \cos^2(\omega t + \varphi )\\
E_p = E \sin^2(\omega t + \varphi )\\
$$

常用 $k = \omega ^2 m $ 方便做题。

简谐运动的合成

和电路中的相量法一样,对旋转矢量进行合成即可。

正交正弦波合成

若有

$$
x = A_1 \cos(\omega t + \varphi_1)\\
y = A_2 \cos(\omega t + \varphi_2)\\
$$

则可以合成曲线,合成的曲线叫做 Lissajous 曲线。

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当两个频率差距很小的运动合成时,会出现“拍”的现象:

绿色 $f(x) = sin(12x)$ 红色 $g(x) = sin(11.4x)$

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合成之后 $h(x) = f(x) + g(x)$

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例题

【例子】 劲度系数为k的轻质弹簧,下端悬挂质量为 $m$ 的物体,弹簧被拉长 $\Delta l$ ,然后把物体上拾至弹簧处于自然状态后释放。(1) 试证物体在做简谐运动。(2) 写出谐振动的表达式

【分析与解答】

受力分析:

取平衡位置($mg = k \Delta l$ )为坐标原点。取向下为正方向。

考虑物体向下运动后,收到的弹力向上,所以有 $mg + T = ma$ 其中 $T = -k(x + \Delta l)$ ,x 表示物体的坐标。

展开 $ a $,因此有:

$$
mg - kx - k \Delta l = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2}
$$

即:

$$
{}- kx = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2}
$$

这就足以说明物体在做简谐运动。

由于 $k = m \omega ^2$,可得 $ \omega = \sqrt[]{\frac{k}{m}} $

振幅计算式:

$$
A=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}
$$

对于此题,$ x_0 = \Delta l, v_0 = 0 $,所以振幅为 $\Delta l$

初相位:根据 $x_0 = A \cos \phi , v_0 = - \omega A \sin \phi $ ,可知初相位是:0

所以表达式为:$y = \Delta l \cos (\sqrt[]{\frac{k}{m}})$

【例子】 一简谐运动曲线如图(a)所示,则运动周期是(  )

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【分析与解答】

$ t= 0$ 时相位是 $ - \frac{\pi }{3} $,结合 $ t= 1$ 可以发现 $1s$ 内走了 $\frac{\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{3}}{2 \pi } = \frac{5}{12}$ 个周期,所以每个周期就是 $\frac{12}{5}s = 2.4s$

【例子】 一远洋货轮,质量为 $ m $,浮在水面时其水平截面积为 $ S $ .设在水面附近货轮的水平截面积近似相等,水的密度为 $\rho $ ,且不计水的粘滞阻力,证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动,并求振动的周期。

【分析与解答】

解:设平衡位置下沉距离为 $h$ ,以此为坐标原点,向下为正方向,建立一维坐标系。有:

$$
\begin{align}
mg = \rho g h S \\
mg - F_f = m \frac{ \mathrm{d}^2 t}{ \mathrm{d} t^2}\\
F_f = \rho g(h + x)S
\end{align}
$$

上下带入中间式子,得到: $\rho g S x + m \frac{ \mathrm{d}^2 t}{ \mathrm{d} t^2} = 0$

这足以说明是简谐运动。

PS 若需其它参数:

运动的角频率:$\omega = \sqrt[]{\frac{\rho g S}{m}}$ ,周期 $T = \frac{2 \pi }{\omega } = 2 \pi \sqrt[]{\frac{m}{\rho g S}}$

初相位,根据:$x = A \cos(\omega t + \varphi )$ 一阶导数得到 $v = - A \omega \sin (\omega t + \varphi )$

带入 $t= 0$ 可知 $x_0 = A \cos \varphi , v_0 = -A \omega \sin \phi $

【例子】 已知振动的 $x - t$ 图像,求振动表达式。

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【分析与解答】

从图中可以看出 $A = 4 \text{cm}$$x_0 = 2 \text{cm}$ 设表达式 $x = A \cos (\omega t + \varphi )$

$x_0 = 2 = 4 \cos \varphi \to \varphi = - \frac{\pi }{3}$

考虑 $\left. v \right| _ {t = 1} <0$ , $\left.x \right|_{t = 1} = 2 = 4 \cos (\omega - \frac{\pi }{3})\to \omega = \frac{2\pi }{3}$

综上所述:

$$
x = 4 \times 10^{-2} \cos (\frac{2 \pi }{3} t - \frac{\pi }{3})
$$

【例子】 图(a)为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线,且振幅为2cm,求(1)振动周期;(2)加速度的最大值;(3)运动方程.

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【分析与解答】 设运动方程 $x = A \cos (\omega t + \varphi )$。求导可得:$v = - A \omega \sin (\omega t + \varphi )$

由题可知 $A = 2 \text{cm}$ ,由图可知 $-3 = -2 \omega $ 从而 $\omega = \frac{3}{2}$

由图可知 $1.5 = -2 \cdot \frac{3}{2} \sin \varphi $ ,从而 $ \sin \varphi = - \frac{1}{2} $,从而 $\varphi = - \frac{\pi }{6}$$\varphi = - \frac{5}{6} \pi $

这种时候分析运动方向。对于旋转矢量法,相量在三四象限速度为正,因此应该选 $ - \frac{5}{6} \pi$ 作为初相。

从而 $x = 2 \times 10^{-2} \cos (\frac{3}{2}t - \frac{5}{6} \pi )$

其它略。

【例子】 一物体沿 $x$ 轴作谐振动,振幅 $A = 0.06m$ ,周期 $T= 2s$,当 $t = 0$ 时,物体的位移 $x_0 = 0.03m$ ,且向 $x$ 轴正向运动。求

(1) 谐振动的表达式

(2) $t = 0.5s$ 时物体的位移、速度和加速度

(3)物体从 $x = -0.03m$ 处向 $x$ 轴负方向运动,到第一次回到平衡位置所需的时间

【分析与解答】

$$
\omega = \frac{2\pi }{T} = \pi \\
x = 0.06 \cos (\pi t + \varphi )\\
0.03 = 0.06 \cos \varphi \Rightarrow \cos \varphi = \frac{\pi }{3} \or - \frac{\pi }{3}
$$

根据向正向移动,脑补一个旋转矢量图,可知是 $- \frac{\pi }{3}$

表达式:

$$
x= 0.06 \cos (\pi t - \frac{\pi }{3})
$$

(2) 求导带入值,略。

(3) 脑补可知旋转矢量在第三象限,与 $ y $ 负半轴夹角是 $\frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{2} = \frac{5}{6} \pi $ ,相当于 $\frac{5}{12}$ 个周期,也就是需要 $ \frac{5}{6} \text{s} $

【例子】 弹簧振子作简谐运动,当位移为振幅的一半时,其动能为总能量的___

【分析与解答】 根据动能和势能的关系:

$$
\begin{array}{l}
E_{k}=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}(\omega t+\varphi) \\
E_{p}=\frac{1}{2} k x^{2}=\frac{1}{2} k A^{2} \cos ^{2}(\omega t+\varphi) \\
E=E_{k}+E_{p}=\frac{1}{2} k A^{2}
\end{array}
$$

即可求解。答案 $\frac{3}{4}$

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这里有一个三边平方关系可以利用。如图。

【例子】 两个同振动方向、同频率、振幅均为 A 的简谐振动合成后,振幅仍为 A,则这两个简谐振动的相位差为()

【分析与解答】

学过模电的都懂,答案是 $ \dfrac{4}{3} \pi $ 或者 $ \dfrac{2}{3}\pi $。那么为什么呢?

有两种方法,第一种是画出旋转矢量,调整夹角使得矢量和等于两边,自然会画出两个等边三角形,所以夹角是 $ \dfrac{2}{3} \pi $。第二种方法是设出第二个简谐运动的三角函数表达式,然后硬解。

【例子】 求图中 $ x= 0 $ 处振动的初相位。

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【分析与解答】 $ y = 0 $,可知旋转矢量的相位是 $ \pm \frac{\pi }{2} $ 将波形补充左边,并向 $ u $ 的方向平移,可以发现 $ x= 0 $ 处的质点向 $ y $ 负方向移动,也就是说,旋转矢量在下一时刻 $ y $ 值要减少,所以只可能是 $ \frac{\pi }{2} $

注意 这种在 $ [-y,y] $ 区间运动的质点,旋转矢量的横轴实际上是 $ y $ 轴:

typora\20200612165405_ebe437060bd0e27c3e197ce69369566f.png

这里像咱这样不听课的就很容易搞错了。(雾)

【例子】 求图中 c 点的相位。

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【分析与解答】 可以发现 C 点 $ y = 0 $,所以相位是 $ \pm \dfrac{\pi }{2} $,向左平移发现 $ y $ 值变大,所以旋转矢量横坐标变大,应该是 $ \dfrac{-\pi }{2} $,当然填个 $ \dfrac{3}{2}\pi $ 也没毛病。

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