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物理学基础 9:振动

简谐振动

推导

对于一个弹簧振子,以平衡位置为原点建立一维坐标系。则对任意位置 $\vec{x}$,对应的回复力为

$$
{F} = -k {x}
$$

根据牛顿第二定律:

$$
F=ma=m{\frac {{\mathrm {d}}^{2}x}{{\mathrm {d}}t^{2}}}
$$

两式联立消去 $F$

$$
kx+m{\frac {{\mathrm {d}}^{2}x}{{\mathrm {d}}t^{2}}} = 0
$$

解这个微分方程,可得:

$$
x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)
$$

于是我们得到了简谐运动关于时间 $t$ 的方程:

$$
x = A\cos \left(\omega t-\varphi \right)
$$

其中

$$
\begin{align}
\omega &={\sqrt {{\frac {k}{m}}}}\\
A &={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}\\
\tan \varphi &=\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right)
\end{align}
$$

$A$ 称为振幅。

$\omega$ 称为角频率。

$\phi $ 称为初相位。

旋转矢量法

旋转矢量法在电路中的相量法就已经用过了。其原理是,正弦波可以被理解成复平面上的旋转矢量在实轴上的投影正弦波的叠加可以理解为复平面上的旋转矢量相加后在实轴上的投影

旋转矢量。引用自维基百科。

【例子】 质点做简谐运动,振幅 $0.08m$,周期 $4s$,初始位置 $x = 0.04m$,初始运动方向:$O_x$ 轴负方向。质点质量 $m = 0.01kg$

  1. $t = 1.0s$ ,物体位置和受力大小。
  2. 求运动到 $x = -0.04m$ 所需最短时间。

设运动方程:

$$
x = A\cos \left(\omega t+\varphi \right)
$$

根据已知条件,可得 $A = 0.08$$\omega = \frac{2 \pi }{T} = \frac{\pi}{2}$

$$
0.04 = 0.08 \cos (\frac{\pi }{2}\cdot 0 + \varphi)\\
\frac{1}{2} = \cos \varphi\\
\varphi = \frac{\pi}{3}
$$

所以运动方程为:

$$
x = 0.08 \cos (\frac{\pi }{2}t + \frac{\pi}{3})\\
$$

$t = 1.0s$ 时,

$$
x = 0.08 \cos (\frac{\pi }{2} + \frac{\pi}{3}) = 0.08 \cos (\frac{\pi }{6}) = 0.04 \sqrt[]{3} = 0.0693
$$
$$
F = - m \omega^2 x = - 0.01 \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot 0.0693 = - 0.0017N
$$

要运动到 $x = -0.04$ 则至少应该旋转向量至 $\dfrac{2}{3}\pi$ 位置。

$$
\frac{2}{3}\pi = \frac{\pi }{2}t + \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = 0.6667
$$

综上所述,

  1. $t = 1.0s$ ,物体位置 $ x = 0.0693m$,受力大小 $ |F| = 0.0017N$
  2. 运动到 $x = -0.04m$ 所需最短时间 $t = 0.6667 s$

单摆、复摆模型

  • 什么是单摆?

质点被柔软细绳牵引,绕固定点进行小角度的摆动。

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对于单摆 $g = \omega ^2 l $$l$ 为绳长,$\omega $为角频率。 。

  • 什么是复摆?

质点系绕固定点进行小角度的摆动。

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对于复摆, $mgl = J \omega ^2$

简谐振动能量

简谐振动的总能量为 $E = \frac{1}{2} kx_{max}^2$ ,也即 $E = \frac{1}{2} kA^2$ 。可以分解为两部分:动能和势能。

$$
E_k = E \cos^2(\omega t + \varphi )\\
E_p = E \sin^2(\omega t + \varphi )\\
$$

常用 $k = \omega ^2 m $ 方便做题。

简谐运动的合成

和电路中的相量法一样,对旋转矢量进行合成即可。

正交正弦波合成

若有

$$
x = A_1 \cos(\omega t + \varphi_1)\\
y = A_2 \cos(\omega t + \varphi_2)\\
$$

则可以合成曲线,合成的曲线叫做 Lissajous 曲线。

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当两个频率差距很小的运动合成时,会出现“拍”的现象:

绿色 $f(x) = sin(12x)$ 红色 $g(x) = sin(11.4x)$

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合成之后 $h(x) = f(x) + g(x)$

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