Site Overlay

猴子也能听懂的三重积分换序问题

从二重积分说起

【例子】改变积分次序:

$$
\int_0^2\mathrm{d}x\int_x^{2x}f(x,y)\mathrm{d}y
$$

首先我们要知道积分区域是怎样的。

如何画出二重积分的积分区域

我们只需要关注各个变量的临界情况。比如$\int_0^2 \mathrm{d}x$ 说明$x$ 的临界是 $x=0,x=2$$\int_x^{2x}f(x,y)\mathrm{d}y$ 说明 $y$ 的临界是 $y=2x, y=x$,把图画下来是这样的:

image-20200511211127594

我们现在交换积分次序,可以发现积分区域是两个部分,一个部分是 $y=2$ 之下的部分,另一个部分是 $y=2$ 之上的部分。表示出来就是:

$$
D_1:0
$$
D_2:2

所以结果就是:

$$
I_{D_1}+I_{D_2} = \int_{0}^{2} \mathrm{d} y \int_{\frac{1}{2} y}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{2}^{4} \mathrm{d} y \int_{\frac{1}{2} y}^{2} f(x, y) \mathrm{d} x
$$

二重积分换序,其实就是对待积分区域的方向的改变,一种是上下看,一种是左右看。

三重积分

【例子】(从里到外)将 $z,y,x$ 顺序换为 $y,x,z$ 顺序:

$$
\int_{0}^{1} \mathrm{d} x \int_{0}^{1-x} \mathrm{d} y \int_{0}^{x+y} f(x, y, z) \mathrm{d} z
$$

对于三重积分换序,比如 $z,y,x$$y,x,z$ 可以看成两步:1. $y,z,x$ 2.$y,x,z$

首先,把 $x$ 看做常量,交换 $y,z$。临界区域:

$$
y=0\to y=1-x\\z=0\to z=x+y
$$

image-20200511214037349

交换 $y,z$ 后,和二重积分一样,积分区域(上面的梯形)分成了两个,一个是上面的三角区,一个是下面的矩形区:

$$
D_1:\left\{{\begin{aligned}0 \leq y \leq 1-x\\0 \leq z \leq x\end{aligned}}\right.\ D_2:\left\{\begin{array}{l}z-x \leq y \leq 1-x \\x \leq z \leq 1\end{array}\right.
$$

得到一个中间结果:

$$
\int_{0}^{1} \mathrm{d} x\left(\int_{0}^{x} \mathrm{d} z \int_{0}^{1-x} f(x, y, z) \mathrm{d} y+\int_{x}^{1} \mathrm{d} z \int_{x-x}^{1-x} f(x, y, z) \mathrm{d} y\right)
$$

之后再交换 $x,z$ 方法是一模一样的,就不浪费口舌了。最终结果是:

$$
\int_{0}^{1} \mathrm{d} z \int_{z}^{1} \mathrm{d} x \int_{0}^{1-x} f(x, y, z) \mathrm{d} y+\int_{0}^{1} \mathrm{d} z \int_{0}^{x} \mathrm{d} x \int_{z-x}^{1-x} f(x, y, z) \mathrm{d} y
$$

可以发现,三重积分换序,就是转化为多次的二重积分换序。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注