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物理学基础 7: 恒定磁场

$\mu_0, \varepsilon_0 $$ k $ 的关系

$$
k = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\\
\varepsilon_0 = \dfrac{1}{\mu_0 c^2}
$$

恒定电流

电流密度

导体中,电流的分布并不是均衡的。

image-20200418231916356

为了表示电流分布的疏密,定义电流密度 $J$

$$
J=\lim \limits _{{A\rightarrow 0}}{\frac {I(A)}{A}}
$$

其中 $A$ 是一个面积元。$J$ 是一个矢量,方向为该点正电荷去向。而这样的电流密度矢量就能构成一个向量场。

img

电流密度矢量,在曲面上的积累就是 通过这一截面的电流

$$
I = \int_s \bold{j}\mathrm{d}\bold{A}
$$

*面积用 $A$ 或者 $S$ 表示都可以

电流的连续性方程

闭合(曲面、曲线)积分符号 $\oint$

对于闭合曲面,流出和流入的电荷相等,称为 电流的连续性方程

$$
\oint_s \bold{j}\mathrm{d}\bold{S} = -\dfrac{\mathrm{d}Q_i}{\mathrm{d}t}
$$

欧姆定律的微分形式

已知

$$
\mathrm{d}I = \dfrac{\mathrm{d} U}{R}
$$

电阻定律:

$$
R = \rho \dfrac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}S}
$$

联立得到

$$
\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}I} = \rho \dfrac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}S}
$$

场强定义式:

$$
E = \dfrac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} l}
$$

电流密度定义式:

$$
j = \dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S}
$$

电导率定义式:

$$
\sigma = \dfrac{1}{\rho}
$$

带入之前所得的

$$
\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}I} = \rho \dfrac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}S}
$$

可以得到:

$$
\vec{j} = \sigma \vec{E}
$$

其涵义是:电流密度和该点场强正比

需要注意的是,导体 $\sigma$ 不一定在各处为定值,对于某些特殊的导体,正比不成立,是非线性关系。

电动势

在一个电池内部,电动势使正负电荷分离至元件两端,形成一个保守场 $E_{cs}$,电动势定义为:

$$
{\mathcal {E}}=-\int _{{a}}^{{b}}{\mathbf {E}}_{{cs}}\cdot {\mathrm {d}}{ {\ell }}
$$

也就是电荷从 $a$$b$ 端点在电源内部移动抗拒 $E_{cs}$ 做的功。

磁场

电荷在 $B$ 磁场中受到洛伦兹力

$$
\mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B};
$$

数学知识补充

$\times$ 表示外积,或称叉积。定义为:

$$
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin(\theta )\ \mathbf {n} }
$$

行列式表示为

$$
{\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}
$$

$\vec{n}$ 是一个单位向量,表示叉积的方向,这个方向规定为右手定则确定:

img

首先对于坐标轴

  z
  |
  |
   ------ y 
 /
/x

$\vec{x} \times \vec{y}=+\vec{z}$

叉乘推荐使用这一结论结合右手螺旋定则记忆。

比如是 $ a \times b $,那么右手四根指头从 $ a $ 转向 $ b $,大拇指确定的方向就是叉积的正向。

毕奥-萨法尔定律

BS 定律揭示了电流元 $I\mathrm{d}\bold{l}$ 和它激发的磁场 $\mathrm{d}\bold{B}$ 的关系。它属于一种平方反比定律:

$$
\mathrm{d}B = k \dfrac{I\mathrm{d}{l}}{r^2}
$$

H 磁场形式

$$
d{ {H}}={\frac {Id{ {l}}\times { {r}}}{4\pi r^{3}}}
$$

B 磁场形式

$$
{\begin{aligned}d{ {B}}&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Id{ {l}}\times { {r}}}{r^{3}}}\\&=k_{m}{\frac {Id{ {l}}\times { {r}}}{r^{3}}}\end{aligned}}
$$

B场与H场之间的关系为

$$
\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu'}
$$

位移电流

首先定义位移电流密度

$ \mathbf{j_d} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $

其中 $ \mathbf{D} $ 是电位移,其实就是电解质里的 $ \varepsilon E $

位移电流 $ \mathbf{I_d} = \int_{S}^{} \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \mathrm{d}S = \dfrac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t} $

其中 $ \Phi $ 是电位移通量。

更为常用的公式们

${I}={n} {S} {q} {v}$

${I}=\int_{S} \overrightarrow{{j}} \cdot d \overrightarrow{{S}}$

$\overrightarrow{{F}}={q} \overrightarrow{{v}} \times \overrightarrow{{B}}$

$\overrightarrow{{F}}=\overrightarrow{{I}} \times \overrightarrow{{B}}$

${d} \overrightarrow{{F}}={I} \vec{d} \overrightarrow{{1}} \times \overrightarrow{{B}}$

【例子】 圆电流轴线磁场推导。已知电流为 $ I $。半径为 $ R $。点 $ P $ 在轴线上距离圆心 $ x $ 处。

【分析与解答】

$$
d \mathbf{B} = \dfrac{\mu _0 I}{4 \pi } \cdot \dfrac{\mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{r}}{\mathbf{r}^3}
$$

$ P' $ 是圆环上一点,则 $ \mathrm{d} \mathbf{l} $ 的方向与 $ PP' $ 垂直,所以 $ \sin \theta = \sin 90^\circ = 1 $

所以 $ dB = \frac{\mu _0 I }{4 \pi } \frac{1}{r^2} \mathrm{d}l$

$ d \mathbf{B} $ 经过 $ P $$ PP' $ 垂直。垂直分量:$dB \cos \theta $ ,水平分量 $ dB \sin \theta $,其中 $ \theta $ 通过 $ \tan \theta = \dfrac{R}{x} $ 确定。

进行积分:

$$
B = \int_{C}^{} \frac{\mu_0 I}{4 \pi r^2 } \mathrm{d}l = \dfrac{\mu_0 I} { 4 \pi r^2} \cdot 2 \pi R
$$

注意:此处 $\oint_{C} ^ {} \mathrm{d} l = 2 \pi R$

积分一周之后,竖直分量和为 0。所以只剩下水平分量和:

$$
B = \frac{\mu_0IR}{2 r^2} \sin \theta
$$

其中

$$
\sin \theta = \dfrac{R}{r^{1/2}}
$$

最后得到:

$$
B = \dfrac{\mu_0I R^2}{2r^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I R^2}{2({x^2 + R^2})^{3/2}}
$$

【例子】 无限长直导线磁感应强度推导。已知电流为 $ I $,导线外一点距离导线 $ R $

【分析与解答】

前面的题比这题难,所以这题做起来应该更熟练了吧。这里要运用的依旧是是 B-S 定律。

$$
d \mathbf{B} = \dfrac{\mu_0 I}{4 \pi } \cdot \dfrac{\mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{e_r}}{r^2}
$$

命名导线外点为 $ P' $ 。导线上点为 $ P $,过 $ P' $ 作导线中垂线交其于 $ O $

$ \angle OPP' $$ \theta $,则 $|\mathrm{d}l \cdot r| = \mathrm{d}l \cdot r \cdot \sin \theta $

$ \sin \theta = \dfrac{R}{r} $

所以:

$$
\int_{C}^{} r \mathrm{d}l = \int_{C}^{} R \mathrm{d}l
$$

但是对 $ \mathrm{d}l $ 进行积分很麻烦。我们想把它转换为对 $ d\theta $ 的积分。

由于 $ l = - R \cot \theta $ 两边微分得到:$ \mathrm{d}l = \dfrac{R\mathrm{d}\theta }{\sin ^2 \theta } $

所以 $d B=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} \sin \theta d \theta$

$$
B=\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} \sin \theta \mathrm{d} \theta
=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R}\left(\cos \theta_{1}-\cos \theta_{2}\right)
$$

【例子】 推导带电转盘中心的 B 磁场强度。已知半径 $ R $,总电量 $ Q $,转速 $ \omega $

【分析与解答】

这题可看做一系列圆环磁场的叠加。我们首先求出环状电流的磁场。电流的面密度是 $ \lambda = \dfrac{Q}{\pi R^2} $,设环电流的圆环半径是 $ r $,则圆环上的电流总量 $ \mathrm{d}q $ 是线长度乘以线密度也即:

$ \mathrm{d} q = \dfrac{2 \pi Q r }{\pi R^2} \mathrm{d}r$

由于角速度是 $ \omega = 2 \pi / dt$,所以 $ \mathrm{d}t = \dfrac{2 \pi }{\omega } $

两式相除 $\mathrm{d} I = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \dfrac{ Qr \omega }{\pi R^2} \mathrm{d}r$

产生的磁场是:$ dB = \dfrac{\mu_0}{2r} \cdot \dfrac{ Qr \omega }{\pi R^2} = \dfrac{\mu_0Q \omega }{2 \pi R^2} \mathrm{d} r$

所以 $ B = \int_{0}^{R} \dfrac{\mu_0Q \omega }{2 \pi R^2} \mathrm{d} r = \dfrac{\mu_0Q \omega }{2 \pi R^2} R = \dfrac{\mu_0Q \omega }{2 \pi R}$

【例子】 两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管,两个螺线管的长度相同,R =2r,螺线管通过的电流相同为I,螺线管中的磁感强度大小 $ B_R, B_r $ 满足(  )

【分析与解答】 我们直接用线圈的结论 $ B = \dfrac{N \mu_0 I}{2 r} $,可以发现是反比关系,所以大小圈的磁场强度比是一比二,即 $ 2B_R = B_r $

【例子】 一无限大薄金属板垂直于纸面放置,其上通有垂直纸面向外的电流,面电流密度(即垂直于电流方向的单位长度里通过的电流)到处均匀,大小为j。求该元件的磁场分布。

【例子】 下列说法正确的是(  )

(A) 闭合回路上各点磁感强度都为零时,回路内一定没有电流穿过

(B) 闭合回路上各点磁感强度都为零时,回路内穿过电流的代数和必定为

(C) 磁感强度沿闭合回路的积分为零时,回路上各点的磁感强度必定为零

(D) 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时,回路上任意一点的磁感强度都

【分析与解答】

首先理解回路是什么意思,回路就是选取的随便一个闭合积分路径,不是电路里面的回路。

各点磁感强度都为零,那么 $ \int_{l}^{} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} $ 必然为 0。因为任何向量点乘 $ \vec{0} $ 都是 0。所以 $ \mu_0 I_{in} $ 为零,所以 $ I_{in} $ 为 0。选 B。

【分析与解答】

分析可知,金属板上方的磁场向左,下方的磁场向右:

typora\20200611232804_3fc9775372c5edda24bc5b430a5085ef.png

可画出安培环路:

typora\20200611232829_46105e345a336352ae6cd1ea0c47576c.png

则:

$$
\oint_{L}^{} \mathbf{B} \mathrm{d} \mathbf{l} = 2 Bl = \mu_0 jl
$$

(因为上下环路,都与电流平行,所以是 2l。因为电流所在的金属板在选取区域内长度是 $ l $,所以是 $ jl $

所以 $ B = \mu_0 / 2j $。可见,无限均匀平面电流两侧的磁场为均匀等大反向磁场。

【例子】 一个无限长厚壁导体圆简内径为R1,外径为R2,圆简上通有电流I,且电流均匀分布,求该圆简的磁感应强度分布。

【分析与解答】

如果 $ r > R_2 $

取圆筒外任意闭合圆环,则 $ B(2 \pi r - 0) = \mu_0 I $ 得到 $ B = \dfrac{\mu_0 I }{ 2 \pi r} $

可以发现这样的方法比手动计算积分方便多了。

如果 $ r < R_1 $ 显然 $ \vec{B} = 0 $

如果 $ R_1 < r < R_2 $,则通过的电流要乘以一个权重: $\frac{\pi r^{2}-\pi R_{1}^{2}}{\pi R_{2}^{2}-\pi R_{1}^{2}}$ ,结果 $B=\frac{\mu_{0} I\left(\pi r^{2}-\pi R_{1}^{2}\right)}{2 \pi r\left(\pi R_{2}^{2}-\pi R_{1}^{2}\right)}$

【例子】 如果将阴极射线路径上放上一个蹄形磁铁,让射线穿过 N S 磁极之间,问电子会怎么偏?不考虑重力。

【分析与解答】 用右手判断,向上偏。

【例子】

图示为三种不同的磁介质的 B-H 关系曲线,其中虚线表示的是 $ B = \mu_0 h $ 的关系,说明a、b、c各代表哪一类磁介质的 B-H 关系曲线:

typora\20200612004533_93be3338c697d8b5e25ae128073b90a8.png

【分析与解答】

顺磁质 $ \mu_r > 1 $,抗磁质 $ \mu _r < 1 $, 铁磁质 $ \mu _r >> 1 $

所以看斜率可知依次是铁磁质、顺磁质、抗磁质。

【例子】 螺线管半径 $ R $,绕线圈 $ N $ 匝,通过电流 $ I $,磁介质的磁导率是 $ \mu _r $,求管内磁场强度和磁感应强度。

【分析与解答】 磁场强度 $ H = nI $,其中 $ n $ 是单位长度上的线圈匝数,所以 $ n = \dfrac{N}{2 \pi R} $

所以 $ H = \dfrac{N}{2 \pi R} I$。B 场和 H 场方向一致,右手一比,磁场方向是顺时针。

$ B = \mu_0 \mu_r H = \mu_0 \mu_r \dfrac{N}{2 \pi R}$ 方向同 $ H $

【例子】

一根同轴线由半径为 $ R_1 $ 的长导线和套在它外面的内半径为 $ R_2 $ 、外半径为 $ R_3 $ 的同轴导体圆筒组成.中间充满磁导率为 $ \mu $ 的各向同性均匀非铁磁绝缘材料,如图.传导电流I沿导线向上流去,由圆筒向下流回,在它们的截面上电流都是均匀分布的.求同轴线内外的磁感强度大小B的分布。求磁介质内表面的束缚电流。

typora\20200612005421_5e09f478f622d559949635df5b936bce.png

【分析与解答】

电缆外明显是 0。

电缆内的话,$ 2 \pi r H = I \to H = \dfrac{I}{2 \pi r} $

$ B = \mu_0 \mu_r H = \dfrac{\mu_0 \mu I}{2 \pi r} $

束缚电流 $ I' = j' \cdot w_{j'}$, $ w{j'} = 待求表面在 I 垂直方向上的周长$$ j' = M \cos \theta $, $ \theta =0 $, $ M = \dfrac{\mu_r -1}{\mu_0 \mu_r} B_{内} $

对于本题,$ B_{内} = \dfrac{\mu_0 \mu I}{2 \pi R_1}$$ M = \dfrac{\mu_r - 1}{\mu_0 \mu_r} B_{内} = \dfrac{\mu_r I\mu_r - 1}{2 \pi R_1}$

$ W{j'} = 2 \pi R_1 $$ j' = M \cos 0 = \dfrac{(\mu_r \mu_r - 1 )I}{2 \pi R_1} $, 所以 $ I' = {(\mu_r-1) I}$

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