基础知识
电场强度通量
电场强度通量，简称电通量，是场强在曲面上的积累：
\Phi _{E}=\int _{S}{\mathbf {E}}\cdot d{\mathbf {A}}
$$
${\displaystyle d\mathbf {A} }$是闭曲面${\displaystyle S}$上的微分面积。方向为法线向外。
进入曲面的场强，会使通量增加，离开曲面的场强，会使通量减少，因此，闭合曲面的电通量为 $0$。
库仑定律
真空中两个单独电荷之间的作用力与距离平方成反比：
\bold{F} = k\dfrac{q_1q_2}{r^2}\vec{e_r}\\
\text{其中 } k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}
$$
$\varepsilon_0$ 为真空电容率。
电场强度
电场是带电物体在空间中激发的，是电磁力的介质。定义场强：
\bold{E} = \dfrac{\bold{F}}{q}
$$
点电荷的场强
\bold{E} = k \dfrac{ Q}{ r^2} \bold{e_r }
$$
无限长直导线的场强
\bold{E} = k \dfrac{ 2\lambda}{ r^2} \bold{e_r }
$$
可用积分或高斯定理证明，参见：An Infinite Line of Charge 以及后文
场强叠加定理
向量和。
电偶极子
电偶极子就是一对点电荷 $+q, -q$ 构成的电荷系。距离为 $r_0$。
电偶极矩
定义 $qr_0$ 为电偶极子的电偶极矩，简称电矩。
电偶极子的场强
电偶极子就是一对点电荷 $+q, -q$ 构成的电荷系。取中点 $O$ 建立一维坐标系。两个电荷产生的场强分别为
\vec{E_+}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{\left(x-\frac{r_{0}}{2}\right)^{2}} \vec{e_r}\\
\vec{E_-}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{\left(x+\frac{r_{0}}{2}\right)^{2}} \vec{e_r}
$$
求任何位置的场强，只要把这两个矢量相加即可。
电场强度和电势的关系
场强是电势的导数。
安培环路定理
使用方法：
- 求出 $ \oint_{L}^{}B \mathrm{d}l = B(l_{正向} - l_{反向}) $
- 求出闭合曲线内的电流之和 $ I $，并判断电流的朝向取正负。
- 利用 $ \oint_{L}^{}B \mathrm{d}l = \mu_0I $ 求出 $ B $
例题
【例子】 在点电荷 q 的电场中，若取图 3 中 P 点处为电势零点，则 M 点的电势为
图3：
--- +q ------------- P ------------- M --
a a【分析与解答】
电势的一种讲人话的定义是：单位正电荷从该点移动到电势为零的点，电场力所做的功，再说通俗一点，你下山到地面做的功。但是如果我们直接计算做功，还要计算路径积分，烦的一批。所以不如直接计算电势差，电势差的计算比较特殊，他不是 $ \Delta = b - a $，而是初减末。我们要计算从 M 到 P 做的功，就是要计算 M 的电势减 P 的电势：
{} \frac{q}{4 \pi \varepsilon _0}{ (\frac{1}{2a} - \frac{1}{a} )}
$$
所以答案是：
\frac{q}{8 \pi \varepsilon _0 }
$$
【例子】 两个均匀带电球壳同心放置，半径分别为 $ R_1 < R_2 $，已知内外球壳之间的电势
差为 $U$ , 则两球壳间半径为 $ r $ 处的电场强度大小为 ?
求场强的一般方法：
0 静电平衡的导体内部场强处处为 0
1 画出封闭曲面
2 算出封闭曲面的电通量
3 算出曲面内的总电荷量
4 用高斯定理 $ \Phi = \frac{\Sigma q}{\varepsilon _0} $ 求出场强
【分析与解答】
当 $ R1 < R_2 $ 时：
封闭曲面自然就是个球面了。电通量等于 $ E \cdot S_{法向} $
所以：
$ \Phi = E \cdot 4 \pi r^2 $
假设封闭曲面内电荷量是 $ q $
则
U = \frac{q}{4 \pi \varepsilon _0}(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})
$$
又：
E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon _0}
$$
两个得到：
\begin{array}{l}
E r^{2}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}=U \cdot \frac{R_{1} R_{2}}{R_{2}-R_{1}} \\
\Rightarrow E_{2} = \frac{U}{r^{2}} \cdot \frac{R_{1} R_{2}}{R_{2}-R_{1}}
\end{array}
$$
【例子】
如图，半径为R1,带电量为q的金属球，被一同心金属球壳包围。球壳内径为R2,外径为R3,带电量为Q。求距球心r处的电势。
【分析与解答】
首先我们分析场强分布。根据高斯定理可以直接写出：
E = \left\{\begin{array}{cc}
E_1 =& 0 &\quad 0 \leq r \leq R_1\\
E_2 =& \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon _0 r^2} &\quad R_1 < r \leq R_2\\ E_3 =& 0 & \quad R_2 < r \leq R_3\\ E_4 =& \dfrac{Q+q}{4 \pi \varepsilon _0 r^2}&\quad R3 < r \end{array}\right. $$
选取无穷远处为电势零点，则
U = \int_{r}^{+\infty } E \mathrm{d}r
$$
由于积分是从 $ r $ 到无穷远，所以考虑的是 $ r $ 及其外部。换言之应该从远到近分类讨论。
当 $ r \geq R_3 $ 时，积分结果是 $ \frac{Q+q}{e \pi \varepsilon _0 r} $
当 $ R_2 < r < R_3 $ 时，场强为 0，此范围积分肯定是 0。电势是：$0 + \frac{Q+q}{e \pi \varepsilon _0 R_3} = \frac{Q+q}{e \pi \varepsilon _0 R_3} $
当 $ R_1< r < R_2 $ 时，此范围 $[r,R_2]$ 积分是 $ -\frac{q}{4 \pi \varepsilon _0 }(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{r}) $（注：不要忘记负号。负号怎么来的? $ \int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = - \frac{1}{x^ 2} $ ），算上外边的，一共是 $ \frac{Q+q}{e \pi \varepsilon _0 R_3} - \frac{q}{e \pi \varepsilon _0 R_2} + \frac{q}{e \pi \varepsilon _0 r} $
当 $ r < R_1 $ 时，同上。结果为 $ \frac{Q+q}{e \pi \varepsilon _0 R_3} - \frac{q}{e \pi \varepsilon _0 R_2} + \frac{q}{e \pi \varepsilon _0 R_1} $
【例子】 有一无限长直导线，距离直导线R处有一O点。当通过的电流为I时，求O点处的磁感应强度的大小和方向。
【分析与解答】 刚才推导过有限长直导线，$ B = \dfrac{\mu_0I}{2 \pi R}(\cos \alpha - \cos \beta )) $ 。带入 $ \alpha = 0, \beta = \dfrac{\pi }{2} $ 可得 $ B = \dfrac{\mu_0 I }{2 \pi R} $
方向的话用右手螺旋定则，求出 $ \mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{r} $，可知方向朝外。
【例子】 有一半径为R的圆形导线。当通过的电流为 I 顺时针时，求圆心O点处的磁感应强度的大小和方向。
【分析与解答】
刚才我们推导过距离圆环 $ r $ 处的磁感应强度是 $ B = \dfrac{\mu_0IR^2}{2 (R+r)^{3/2}} $ 所以令 $ r =0 $ 就得到 $ B = \dfrac{\mu_0 I }{2{R}}$。方向向里。
【例子】 电荷 $ q $ 以 $ \omega $ 角速度圆周运动，求它在运动中心产生的磁感应强度。
【分析与解答】
BS 定律：
\int_{}^{} dB = \int_{}^{} \dfrac{\mu_0 I}{4 \pi r^2} \cdot \mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{e_r} = \dfrac{\mu_0 I}{2 R}
$$
I = \dfrac{Q}{t} = \dfrac{Q}{2 \pi / \omega } = \dfrac{Q \omega }{2 \pi }
$$
联立得到
B = \dfrac{\mu_0 Q \omega }{4 \pi R}
$$