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矢量微积分 2. 曲线积分、保守场

什么是曲线积分?

曲线积分的本质:向量场在路径上的积累效果。当然,这么说对于初次接触者仍然等于没说。请继续读下去

从一元函数积分说起

对于一元函数,积分相当于区间 $[a,b]$ 上函数 $f(x)$构成的图像的面积。一言以蔽之,曲线积分,就是把区间从 $[a,b]$ 换成了一段曲线,这段曲线可以用 $A(x,y)$ 描述。更高维度同理。如果还不明白请继续看:

在力做功的过程中,对于一个瞬间,$d\bold{W} = \bold{F}\mathrm{d}\bold{x}$

一维运动

一维运动

如果 $\vec{x}$$\vec{F}$ 的方向一致,也就是一维运动,那么质点从 $a$ 运动到 $b$ 就有 $W = \int_a^b \bold{F} \mathrm{d}\bold{x}$

$F$ 可以是任何表达式,如 $f(x)$。就有: $W = \int_a^b {f(x)} \mathrm{d}x$,由于一维运动,向量当作标量处理了。

这就是等同于区间 $[a,b]$ 上函数 $f(x)$ 的积分。

二维运动

二维运动

如果 $\vec{x}$$\vec{F}$ 的方向不完全一致,比如质点沿着一条路径 $\left\{ \begin{array}\\ x = \phi(t)\\y=\psi(t)\end{array} \right.$ 运动。质点在路径上任一点 $P(x,y)$ 的受力为 $\vec{F}(x,y)$,受力方向和该点切线方向相同。那么,从 $P_0(x_0,y_0)$$P_1(x_1,y_1)$ ,力做功多少呢?

我们在高中学过微元法,可以把总共做的功分解成一小段一小段的直线做功,然后加和。

这个时候,路径弧线的微分就是 $\mathrm{d}\bold{r} = \langle\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\rangle$ 微分变成了矢量形式,或者说带有方向的微分。

在每一小段做的功就是 $\bold{F}(x,y)\mathrm{d}\bold{r}$,总共做的功就是:

$$
\int_L \bold{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\bold{r}
$$

这里积分号中有一个 $L$,表示 “line”,因为英文的曲线积分是“line integral”,也可以写 $C$,表示 “curve integral”。

注意这里是向量 $F$ 和向量 $\mathrm{d}r$ 的内积

这就是曲线积分。

下面这张图可以体现出曲线积分的特点,积分自变量范围从区间变成了一段曲线:

image-20200413202038987

推而广之可以得到表达式:

$$
\int_L \bold{A}(x,y)\mathrm{d}\bold{r}
$$

如果 $|\bold{A}(x,y)| = 1$,那么曲线积分的结果就是这条曲线的长度。

其中 $\bold{A}(x,y)$ 可以是标量场(普通复合函数),也可以是向量场。

保守场

如果上面提到的这个 $\bold{A}(x,y)$ 是一个梯度场,那么就存在 $f$ 使得 $\bold{A}(x,y) = \nabla f$,也就是说对于 $\bold{A}(x,y)$ 而言,存在一个原来的数量场,并且满足这个场是偏导连续的——曲面是单连通区域——说白了就是没有裂缝,这个时候的曲线积分就类似于保守力做功,因此,那么曲线积分只与路径的起点和终点的选取有关。(你可以想象:原来这个场就是重力势场——说白了就是几个小山包山凹,那么重力场的力做功多少,只和你最初和最末的重力势能有关。)

当然,虽然说只和初末位置有关,但是你把它分解成一条路径上各个积分的求和,也是可以算的,结果也是一样的——因为这个简化方法的出发点仍然是微元法。

这种场我们叫做保守场、梯度场。比如重力场和电场。

梯度场的原数量场

计算

标量场曲线积分的计算

理解了大致的概念,我们不妨做题,比起给计算公式,不如从例子中学习。

【例题】求 $\int_{C}\left(2+x^{2} y\right) d s$。其中积分范围 $C$ 是单位圆的上半部分。

解:

这道题就是 $\int_L \bold{A}(x,y)\mathrm{d}\bold{r}$$A$ 为标量场的情况。这个时候可以通过三角换元,把它转化为一元函数。然后计算

$$
\int_{C} f(x, y) d s=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t
$$

即可。下面做题:

设积分范围上的点 $P(x,y) = P(\cos a, \sin a)$,则

$$
\begin{array}\\&\int_{C}\left(2+x^{2} y\right) \mathrm{d} s\\&= \int_0^\pi (2+\cos^2a\sin a) |\langle{\mathrm{d}x},\mathrm{d}y\rangle|\\&= \int_0^\pi (2+\cos^2a\sin a) |{\langle{\mathrm{d}x \over \mathrm{d}t},{\mathrm{d}y \over \mathrm{d}t}\rangle}| \mathrm{d}t\\&= \int_0^\pi (2+\cos^2a\sin a) \sqrt{({\mathrm{d}x \over \mathrm{d}t})^2+({\mathrm{d}y \over \mathrm{d}t})^2} \mathrm{d}t\\&=\int_{0}^{\pi}\left(2+\cos ^{2} t \sin t\right) \sqrt{\sin ^{2} t+\cos ^{2} t} \mathrm{d} t\\&=\int_{0}^{\pi}\left(2+\cos ^{2} t \sin t\right) \mathrm{d} t\\&=\left[2 t-\frac{\cos ^{3} t}\\{3}\right]_{0}^{\pi}\\&=2 \pi+\frac{2}{3}\end{array}
$$

梯度场曲线积分的计算

【例子】计算 $\int_{C} y^{2} \mathrm{d} x+x \mathrm{d} y$ 。积分路径分别是如图 $C_1, C_2$

image-20200413205110734
这道题就是 $\int_L \bold{A}(x,y)\mathrm{d}\bold{r}$$\vec{A} = (y^2, x)$ $\vec{r} = (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ ,即为梯度场的情况。

对于路径 $C_1$

将曲线用参数方程表示:

$$
\tan\theta =1
$$
$$
\left\{\begin{array}\\x &= -5+t\\y &= -3+t\\\end{array}\right.t\in[0,5]
$$

运算:

$$
\begin{array}\\I = \int_{C} y^{2} \mathrm{d} x+x \mathrm{d} y\\I= \int_0^5(t-3)^2\mathrm{d}(t-3)+(t-5)\mathrm{d}(t-5)\\I = \int_0^5(t-3)^2\mathrm{d}t+(t-5)\mathrm{d}t\\F(t) = \dfrac{(t-3)^3}{3}+\dfrac{(t-5)^2}{2}\\I = \dfrac{(5-3)^3}{3}+\dfrac{(5-5)^2}{2} - \dfrac{(0-3)^3}{3}-\dfrac{(0-5)^2}{2}\\I=8/3 + 0+9-25/2\\I = 16/6+54/6-75/6\\I = -5/6\end{array}
$$

对于路径 $C_2$,根据路径表达式有:$x = 4 - y^2, y\in [-3,2]$

$$
\begin{array}\\I = \int_{C} y^{2} \mathrm{d} x+x \mathrm{d} y\\I = \int_{-3}^2y^2\mathrm{d}{(4-y^2)}+(4-y^2)\mathrm{d}y\\I = -2\int_{-3}^2y^3\mathrm{d}{y}+(4-y^2)\mathrm{d}y\\F(y) = -y^4/2-y^3/3 + 4y\\I = -245/6\end{array}
$$

参考资料

  1. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E7%A7%AF%E5%88%86

  2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/25500465

  3. Calculus Early Transcendentals 第八版

  4. https://qiita.com/sci_Haru/items/ae54f90e53ccc959d3cb

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