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矢量微积分:1. 向量场、梯度场

向量场

下图是我国昆明市周边区域于2020年4月10日下午的风流场示意图。风流场是一种向量场。

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如何描述这个风流场?我们只需要为这个场中的每个点 $(x,y)$ 赋予一个二维向量 $\vec{F}(x,y)$。如果每个点都能适用这个矢量函数 $\bold{F}$,那么我们直接用这个函数就可以描绘场。

由于这个函数是二维向量的函数,所以它可以分解到两个维度:

$\bold{F} = P\bold{i}+Q\bold{j}$

分解出来的函数 $P,Q$ 称为标量函数,它们代表的场叫标量场

我们令 $\vec{r} = x\vec{i}+y\vec{j}$,那么 $|\vec{r}| = \sqrt{x^2+y^2}$。这就相当于物理学中的场强大小$\vec{r}$ 就是场强

真空中点电荷的向量场(平面投影)如下图:

它的向量场是如何确定的呢?径矢设为 $\bold{r},$,则 $|\mathbf{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$。把电场分解到三个轴向,就有:

$$
\mathbf{E}(x, y, z)=kQ\left(\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \mathbf{i}+\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \mathbf{j}+\frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \mathbf{k}\right)
$$

梯度场

梯度

偏导数的定义:

$$
\begin{array}{l}
f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{h} \\
f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+h\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{h}
\end{array}
$$

(下面这段话就是想求面上一点的切线斜率)

为了求出 $z$$(x_0,y_0)$ 处的变化率(单位向量为 $\mathbf{u}=\langle a, b\rangle$)。想象曲面 $ S$ ,方程为 $z = f(x,y)$,令 $z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$,则 $P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$$S$ 上。我们要求变化率就只要求此点切线的斜率。想象这个切线竖直向下把曲面截出一个截面,截面与曲面相交的区域就是一条曲线,$P$ 就是这个曲线上的一点,$Q$ 是曲线上另一点,令 $Q$ 趋近 $P$,有 $\overrightarrow{PQ}=h \mathbf{u}=\langle h a, h b\rangle$。那么斜率就可以表示为 $\Delta z \over h$

图片来自网络

$h\to 0$,就得到了 $z$$\bold{u}$方向上的的变化率,记作 $D_{\bold{u}}f(x_0,y_0)$,称为$f(x_0,y_0)$方向导数。定义式:

$$
D_{\mathrm{u}} f\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h a, y_{0}+h b\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{h}
$$

偏导数正是方向导数的特殊情况——方向正好是轴向。

如果有方向导数,对于这个方向的方向向量$\mathbf{u}=\langle a, b\rangle$,有:

$$
D_{\mathrm{u}} f(x, y)=f_{x}(x, y) a+f_{y}(x, y) b
$$

那么这个函数 $f(x,y)$ 可微。由于 $\bold{u}$ 是单位向量,所以可以用三角换元得到:

$$
D_{\mathfrak{u}} f(x, y)=f_{x}(x, y) \cos \theta+f_{y}(x, y) \sin \theta
$$

梯度向量

梯度就是梯度向量

梯度相当于一种多元函数的导数

根据点积的定义,可以把方向导数表示为

$$
\begin{aligned}
D_{\mathfrak{u}} f(x, y) &=f_{x}(x, y) a+f_{y}(x, y) b \\
&=\left\langle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right\rangle \cdot\langle a, b\rangle \\
&=\left\langle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right\rangle \cdot \mathbf{u}
\end{aligned}
$$

$\left\langle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right\rangle$ 就是梯度向量,记作 $\nabla f$。它其实就是这点的法向量。

梯度向量的计算公式:

$$
\nabla f(x, y)=\left\langle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right\rangle=\frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j}
$$

梯度向量与此处单位方向导数的积就是此处的方向导数。

$$
D_{\mathfrak{u}} f(x, y)=\nabla f(x, y) \cdot \mathbf{u}
$$

学习线性代数的时候, 我们常常看见这样的平面方程:

$$
\frac{x+2}{\color{blue}-1}=\frac{y-1}{\color{blue}2}=\frac{z+3}{\color{blue}-\frac{2}{3}}
$$

向量 $\langle-1,2,-\dfrac{2}{3}\rangle$ 正是梯度向量。

【例子】计算 $f(x, y)=x^{2} y^{3}-4 y$$(2,-1)$ 的方向导数。已知方向向量为:$\mathbf{v}=2 \mathbf{i}+5 \mathbf{j}$

【解】首先计算 $(2,-1)$ 处的梯度向量:

利用公式得到:

$$
\begin{aligned}\nabla f(x, y) &=2 x y^{3} \mathbf{i}+\left(3 x^{2} y^{2}-4\right) \mathbf{j} \\\nabla f(2,-1) &=-4 \mathbf{i}+8 \mathbf{j}\end{aligned}
$$

把方向向量单位化:

$$
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}=\frac{2}{\sqrt{29}} \mathbf{i}+\frac{5}{\sqrt{29}} \mathbf{j}
$$

从而得到方向导数:

$$
\begin{aligned}D_{\mathfrak{u}} f(2,-1) &=\nabla f(2,-1) \cdot \mathbf{u}=(-4 \mathbf{i}+8 \mathbf{j}) \cdot\left(\frac{2}{\sqrt{29}} \mathbf{i}+\frac{5}{\sqrt{29}} \mathbf{j}\right) \\&=\frac{-4 \cdot 2+8 \cdot 5}{\sqrt{29}}=\frac{32}{\sqrt{29}}\end{aligned}
$$

什么是数量场?

上面那题 $$f(x, y)=x^{2} y^{3}-4 y$$ ,我们先来看看它的图像(颜色反应 $f(x,y)$ 值的大小):

对于每个$(x,y)$,都有一个对应的 $f(x,y)$ 。我们称 $f(x,y)$ 为数量场,也叫标量场,也叫纯量场。

势场

标量场的特点是有等势线,这和我们熟悉的重力势场很像。实际上电势和重力势场都是势场,势场都是标量场。

霓虹某地等高线图图

什么是梯度场?

发现上面的场,四个角这里最陡峭不是么。

对数量场 $f(x,y)$ 的每个点 $(x,y)$ 都求能出对应的梯度向量 $\nabla f(x,y)$,这些无数个梯度向量又构成了一个场。称这个场 $\nabla f(x,y)$是一个梯度场。求出来是

$$
\nabla f(x, y) =2 x y^{3} \mathbf{i}+\left(3 x^{2} y^{2}-4\right) \mathbf{j}
$$

梯度场不能像标量场,那样涂点颜色就画出来,因为颜色只能表示一个维度,而梯度场是向量构成的场。这个梯度场用向量场的形式画出来就是:

你可以发现,这些箭头越长的地方,越陡峭。和上面它的原场的趋势是一致的。

注意:有的向量场也可以表示成 $F = M\vec{i}+N \vec{j}$ 的形式,但是不一定就是梯度场。梯度场必须保证任意方向导数连续(不可以存在 $f_{xy}\ne f_{yx}$),不然梯度场的原数量场就会出现曲面撕裂(断崖),这样的话,由于梯度场体现陡峭程度,就会出现无限长的向量

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