向量场
下图是我国昆明市周边区域于2020年4月10日下午的风流场示意图。风流场是一种向量场。
如何描述这个风流场？我们只需要为这个场中的每个点 $(x,y)$ 赋予一个二维向量 $\vec{F}(x,y)$。如果每个点都能适用这个矢量函数 $\bold{F}$，那么我们直接用这个函数就可以描绘场。
由于这个函数是二维向量的函数，所以它可以分解到两个维度：
$\bold{F} = P\bold{i}+Q\bold{j}$
分解出来的函数 $P,Q$ 称为标量函数，它们代表的场叫标量场。
我们令 $\vec{r} = x\vec{i}+y\vec{j}$，那么 $|\vec{r}| = \sqrt{x^2+y^2}$。这就相当于物理学中的场强大小，$\vec{r}$ 就是场强。
真空中点电荷的向量场（平面投影）如下图：
它的向量场是如何确定的呢？径矢设为 $\bold{r}，$，则 $|\mathbf{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$。把电场分解到三个轴向，就有：
\mathbf{E}(x, y, z)=kQ\left(\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \mathbf{i}+\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \mathbf{j}+\frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \mathbf{k}\right)
$$
梯度场
梯度
偏导数的定义：
\begin{array}{l}
f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{h} \\
f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+h\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{h}
\end{array}
$$
（下面这段话就是想求面上一点的切线斜率）
为了求出 $z$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的变化率（单位向量为 $\mathbf{u}=\langle a, b\rangle$）。想象曲面 $ S$ ，方程为 $z = f(x,y)$，令 $z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$，则 $P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 在 $S$ 上。我们要求变化率就只要求此点切线的斜率。想象这个切线竖直向下把曲面截出一个截面，截面与曲面相交的区域就是一条曲线，$P$ 就是这个曲线上的一点，$Q$ 是曲线上另一点，令 $Q$ 趋近 $P$，有 $\overrightarrow{PQ}=h \mathbf{u}=\langle h a, h b\rangle$。那么斜率就可以表示为 $\Delta z \over h$。
当 $h\to 0$，就得到了 $z$ 在 $\bold{u}$方向上的的变化率，记作 $D_{\bold{u}}f(x_0,y_0)$，称为$f(x_0,y_0)$ 的方向导数。定义式：
D_{\mathrm{u}} f\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h a, y_{0}+h b\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{h}
$$
偏导数正是方向导数的特殊情况——方向正好是轴向。
如果有方向导数，对于这个方向的方向向量$\mathbf{u}=\langle a, b\rangle$，有：
$$
D_{\mathrm{u}} f(x, y)=f_{x}(x, y) a+f_{y}(x, y) b
$$那么这个函数 $f(x,y)$ 可微。由于 $\bold{u}$ 是单位向量，所以可以用三角换元得到：
$$
D_{\mathfrak{u}} f(x, y)=f_{x}(x, y) \cos \theta+f_{y}(x, y) \sin \theta
$$
梯度向量
梯度就是梯度向量
梯度相当于一种多元函数的导数
根据点积的定义，可以把方向导数表示为
\begin{aligned}
D_{\mathfrak{u}} f(x, y) &=f_{x}(x, y) a+f_{y}(x, y) b \\
&=\left\langle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right\rangle \cdot\langle a, b\rangle \\
&=\left\langle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right\rangle \cdot \mathbf{u}
\end{aligned}
$$
$\left\langle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right\rangle$ 就是梯度向量，记作 $\nabla f$。它其实就是这点的法向量。
梯度向量的计算公式：
\nabla f(x, y)=\left\langle f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right\rangle=\frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j}
$$
梯度向量与此处单位方向导数的积就是此处的方向导数。
D_{\mathfrak{u}} f(x, y)=\nabla f(x, y) \cdot \mathbf{u}
$$
学习线性代数的时候， 我们常常看见这样的平面方程：
\frac{x+2}{\color{blue}-1}=\frac{y-1}{\color{blue}2}=\frac{z+3}{\color{blue}-\frac{2}{3}}
$$
向量 $\langle-1,2,-\dfrac{2}{3}\rangle$ 正是梯度向量。
【例子】计算 $f(x, y)=x^{2} y^{3}-4 y$ 在 $(2,-1)$ 的方向导数。已知方向向量为：$\mathbf{v}=2 \mathbf{i}+5 \mathbf{j}$
【解】首先计算 $(2,-1)$ 处的梯度向量：
利用公式得到：
\begin{aligned}\nabla f(x, y) &=2 x y^{3} \mathbf{i}+\left(3 x^{2} y^{2}-4\right) \mathbf{j} \\\nabla f(2,-1) &=-4 \mathbf{i}+8 \mathbf{j}\end{aligned}
$$
把方向向量单位化：
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}=\frac{2}{\sqrt{29}} \mathbf{i}+\frac{5}{\sqrt{29}} \mathbf{j}
$$
从而得到方向导数：
\begin{aligned}D_{\mathfrak{u}} f(2,-1) &=\nabla f(2,-1) \cdot \mathbf{u}=(-4 \mathbf{i}+8 \mathbf{j}) \cdot\left(\frac{2}{\sqrt{29}} \mathbf{i}+\frac{5}{\sqrt{29}} \mathbf{j}\right) \\&=\frac{-4 \cdot 2+8 \cdot 5}{\sqrt{29}}=\frac{32}{\sqrt{29}}\end{aligned}
$$
什么是数量场？
上面那题 $$f(x, y)=x^{2} y^{3}-4 y$$ ，我们先来看看它的图像（颜色反应 $f(x,y)$ 值的大小）：
对于每个点 $(x,y)$，都有一个对应的 $f(x,y)$ 。我们称 $f(x,y)$ 为数量场，也叫标量场，也叫纯量场。
势场
标量场的特点是有等势线，这和我们熟悉的重力势场很像。实际上电势和重力势场都是势场，势场都是标量场。
什么是梯度场？
发现上面的场，四个角这里最陡峭不是么。
对数量场 $f(x,y)$ 的每个点 $(x,y)$ 都求能出对应的梯度向量 $\nabla f(x,y)$，这些无数个梯度向量又构成了一个场。称这个场 $\nabla f(x,y)$是一个梯度场。求出来是
\nabla f(x, y) =2 x y^{3} \mathbf{i}+\left(3 x^{2} y^{2}-4\right) \mathbf{j}
$$
梯度场不能像标量场，那样涂点颜色就画出来，因为颜色只能表示一个维度，而梯度场是向量构成的场。这个梯度场用向量场的形式画出来就是：
你可以发现，这些箭头越长的地方，越陡峭。和上面它的原场的趋势是一致的。
注意：有的向量场也可以表示成 $F = M\vec{i}+N \vec{j}$ 的形式，但是不一定就是梯度场。梯度场必须保证任意方向导数连续（不可以存在 $f_{xy}\ne f_{yx}$），不然梯度场的原数量场就会出现曲面撕裂（断崖），这样的话，由于梯度场体现陡峭程度，就会出现无限长的向量。