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物理学基础 3:动量和能量、质心运动定律

动量

动量我们早已学习过,其定义为

$$
\vec{p}=m\vec{v}
$$

动量定理和动量守恒

两个质点构成的系统,作用于系统的外力可以分解为作用于两个质点的外力。外力的冲量会增加质点的动量。质点之间的冲量由于牛顿第三定律其和总是 0. 因此,作用于两质点系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。同理,对任何系统,动量的增量,只取决于作用于的合外力的冲量。

$$
\int_{t_1}^{t_2}\bold{F^\mathrm{ex}} \mathrm{d}t = \Delta \bold{p}
$$

当这增量为 $0$ 的时候,动量守恒。

【例子】一绳,长 $l$,质量之线密度 $\lambda$,平放于地面。手握一端,以恒速 $v$ 竖直上提至高度 $y$,此时手的提力多少?

解:

绳子被提起部分,记长$x$,质量 $m$。可以发现,动量是关于 m 的函数,m 是关于 x 的函数,x 是关于 t 的函数,它们可以表示为对 t 的函数,从而有:

$$
\left\{\begin{array}{l}
p(t)=m(t)v \\
m(t)=\lambda x(t) \Rightarrow P(t)=\lambda v^{2} t \\
x(t)=v t
\end{array}\right.
$$

再对整体受力分析,系统向上受到提力和支持力,其中支持力作用于接触地面的部分,向下受到重力,作用于整个绳子:

$$
(F - Mg + N)t = P(t)
$$

解得:

$$
F=\lambda v^{2} t+\lambda x g+\lambda(l-\lambda) g-\lambda x\\
\to F = \lambda v^2 + \lambda xg
$$

所以,当 $y \leq l$ 时,

$$
F = \lambda v^2 + \lambda xg
$$

$y>l$ 时:

$$
F = \lambda v^2 + \lambda lg
$$

能量

功表示力在空间的积累

$$
W = \int\bold{F }\mathrm{d}\bold{r}
$$

功率

功率是功的瞬时变化率

$$
P = \dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}= \bold{F}\cdot\bold{v}
$$

质点的动能

$$
E_k = \dfrac{1}{2}mv^2
$$

动能定理

动能变化量等于合力对质点作用的功

$$
W= \Delta E_k
$$

保守力与非保守力

任何力都能做功,如果做功只和物体的初始位置和终末位置有关,就是保守力。否则就是非保守力。

例如,万有引力做功,只需要给出开始和结束时的径矢就能解出,这说明万有引力是保守力。

势能

与质点位置有关的能量叫做势能

引力势能

假设绝对空间中有孤立天体 A,取距离 A 的无穷远处势能为 0,万有引力的势能,通过计算从无穷远处距离天体某一径矢 $r$ 这一过程中万有引力做的功的相反数给出:

$$
E_p = - \frac{Gmm'}{|r|}
$$

另外,重力势能一般取地面某高度为势能 0 点。

弹性势能

$$
E_p = \frac{1}{2}kx^2
$$

动能定理

质点系(一群质点)的动能来源于内因和外因,分别考虑后容易得到

$$
W ^{ex} + W^{in} = \sum_{i=1}^{n} (E_{ki} - E _{ki_0})
$$

也就是说,质点系的动能增量等于内、外力做的功的和。

机械能守恒定律

当外力不做功,只有保守力的内力做功时,机械能守恒。

$$
\Delta E_k = - \Delta E_p
$$

能量守恒定律

孤立系统的总能量保持不变

质心运动定律

质心

一切物体可看做 $n$ 个质点组成的质点系。取任意一点作为原点,每个质点到原点有位矢 $\bold{r}$。质心的位矢为这些质点以各自质量占比为权重的加权平均。

$$
\vec{r_C}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i\vec{r_i}
$$

如果质量连续分布,那么权重就是一样的、各自的质量也是一样的,质心的坐标就是几何坐标的平均值。

例如,三角形的几何重心:在直角座标系中,若顶点的座标分别为${\displaystyle (x_{1},y_{1})}i$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$,则重心的座标为:$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$

质心速度

质心的速度就是质点速度的和向量。我们直接对质心的径矢求导,得到:

$$
\begin{align} \vec{v_C}&=\frac{d\vec{r_C}}{dt} \\\Rightarrow\vec{v_C}&=\frac{d}{dt}(\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i\vec {r_i}) \\\Rightarrow\vec{v_C}&=\frac{1}{M}\frac{d}{dt}(m_1\vec{r_1}+...m_N\vec{r_N}) \\\Rightarrow\vec{v_C}&= \frac{1}{M}(m_1\frac{d\vec{r_1}}{dt}+...+m_N\frac{d\vec{r_N}}{dt}) \\\Rightarrow\vec{v_C}&=\frac{1}{M}(m_1\vec{v_1}+...+m_N\vec{v_N}) \\\Rightarrow\vec{v_C}&=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i\vec {v_i} \end{align}
$$

质心加速度

继续求导,得到

$$
\vec {a_C}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i\vec{a_i}
$$

质心动量

质心速度一节中,$\vec{v_C}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i\vec {v_i}$,等式右边正好就是动量。两边乘以 $M$

$$
M\bold{v_c} = \sum m_i\bold{v_i}
$$

表明 质心的动量(质量以总质量 M 记)就是质点动量的矢量和。

质心运动定律

若有外力 $\bold{F}$ ,以动量对时间求导,有

$$
\bold{F} = M\bold{a_c}
$$

表明了质心的运动方式,这就是质心运动定律。

参考资料

本文部分内容,参考和引用了维基百科和No Vacancy。感谢。

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