动量
动量我们早已学习过，其定义为
\vec{p}=m\vec{v}
$$
动量定理和动量守恒
两个质点构成的系统，作用于系统的外力可以分解为作用于两个质点的外力。外力的冲量会增加质点的动量。质点之间的冲量由于牛顿第三定律其和总是 0. 因此，作用于两质点系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。同理，对任何系统，动量的增量，只取决于作用于的合外力的冲量。
\int_{t_1}^{t_2}\bold{F^\mathrm{ex}} \mathrm{d}t = \Delta \bold{p}
$$
当这增量为 $0$ 的时候，动量守恒。
【例子】一绳，长 $l$，质量之线密度 $\lambda$，平放于地面。手握一端，以恒速 $v$ 竖直上提至高度 $y$，此时手的提力多少？
解：
绳子被提起部分，记长$x$，质量 $m$。可以发现，动量是关于 m 的函数，m 是关于 x 的函数，x 是关于 t 的函数，它们可以表示为对 t 的函数，从而有：
\left\{\begin{array}{l}
p(t)=m(t)v \\
m(t)=\lambda x(t) \Rightarrow P(t)=\lambda v^{2} t \\
x(t)=v t
\end{array}\right.
$$
再对整体受力分析，系统向上受到提力和支持力，其中支持力作用于接触地面的部分，向下受到重力，作用于整个绳子：
(F - Mg + N)t = P(t)
$$
解得：
F=\lambda v^{2} t+\lambda x g+\lambda(l-\lambda) g-\lambda x\\
\to F = \lambda v^2 + \lambda xg
$$
所以，当 $y \leq l$ 时，
F = \lambda v^2 + \lambda xg
$$
当 $y>l$ 时：
F = \lambda v^2 + \lambda lg
$$
能量
功
功表示力在空间的积累。
W = \int\bold{F }\mathrm{d}\bold{r}
$$
功率
功率是功的瞬时变化率
P = \dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}= \bold{F}\cdot\bold{v}
$$
质点的动能
E_k = \dfrac{1}{2}mv^2
$$
动能定理
动能变化量等于合力对质点作用的功。
W= \Delta E_k
$$
保守力与非保守力
任何力都能做功，如果做功只和物体的初始位置和终末位置有关，就是保守力。否则就是非保守力。
例如，万有引力做功，只需要给出开始和结束时的径矢就能解出，这说明万有引力是保守力。
势能
与质点位置有关的能量叫做势能。
引力势能
假设绝对空间中有孤立天体 A，取距离 A 的无穷远处势能为 0，万有引力的势能，通过计算从无穷远处到距离天体某一径矢 $r$ 这一过程中万有引力做的功的相反数给出：
E_p = - \frac{Gmm'}{|r|}
$$
另外，重力势能一般取地面某高度为势能 0 点。
弹性势能
E_p = \frac{1}{2}kx^2
$$
动能定理
质点系（一群质点）的动能来源于内因和外因，分别考虑后容易得到
W ^{ex} + W^{in} = \sum_{i=1}^{n} (E_{ki} - E _{ki_0})
$$
也就是说，质点系的动能增量等于内、外力做的功的和。
机械能守恒定律
当外力不做功，只有保守力的内力做功时，机械能守恒。
\Delta E_k = - \Delta E_p
$$
能量守恒定律
孤立系统的总能量保持不变
质心运动定律
质心
一切物体可看做 $n$ 个质点组成的质点系。取任意一点作为原点，每个质点到原点有位矢 $\bold{r}$。质心的位矢为这些质点以各自质量占比为权重的加权平均。
\vec{r_C}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i\vec{r_i}
$$
如果质量连续分布，那么权重就是一样的、各自的质量也是一样的，质心的坐标就是几何坐标的平均值。
例如，三角形的几何重心：在直角座标系中，若顶点的座标分别为${\displaystyle (x_{1},y_{1})}i$，${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$、${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$，则重心的座标为：$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
质心速度
质心的速度就是质点速度的和向量。我们直接对质心的径矢求导，得到：
\begin{align} \vec{v_C}&=\frac{d\vec{r_C}}{dt} \\\Rightarrow\vec{v_C}&=\frac{d}{dt}(\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i\vec {r_i}) \\\Rightarrow\vec{v_C}&=\frac{1}{M}\frac{d}{dt}(m_1\vec{r_1}+...m_N\vec{r_N}) \\\Rightarrow\vec{v_C}&= \frac{1}{M}(m_1\frac{d\vec{r_1}}{dt}+...+m_N\frac{d\vec{r_N}}{dt}) \\\Rightarrow\vec{v_C}&=\frac{1}{M}(m_1\vec{v_1}+...+m_N\vec{v_N}) \\\Rightarrow\vec{v_C}&=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i\vec {v_i} \end{align}
$$
质心加速度
继续求导，得到
\vec {a_C}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i\vec{a_i}
$$
质心动量
质心速度一节中，$\vec{v_C}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i\vec {v_i}$，等式右边正好就是动量。两边乘以 $M$：
M\bold{v_c} = \sum m_i\bold{v_i}
$$
表明 质心的动量（质量以总质量 M 记）就是质点动量的矢量和。
质心运动定律
若有外力 $\bold{F}$ ，以动量对时间求导，有
\bold{F} = M\bold{a_c}
$$
表明了质心的运动方式，这就是质心运动定律。
参考资料
本文部分内容，参考和引用了维基百科和No Vacancy。感谢。