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物理学基础 1:质点运动学

单位, 量纲分析和估计

光速

$c = 299, 792, 458$

国际单位制

铯133原子基态的两个超精细能级间跃迁对应辐射的9,192,631,770个周期的持续时间

光在真空中于$1299792458^{-1}$秒内行进的距离。

千克

规定普朗克常数为定值 $6.62607015×10^{−34} kg⋅m^2⋅s^{−1}$ 利用普朗克常数来定义.

安培

规定基本电荷的电荷量为定值, 从而定义安培.

开尔文

规定玻尔兹曼常数为定值, 从而定义开尔文.

摩尔

规定阿伏伽德罗常数为定值, 从而定义摩尔.

坎德拉

$ 540×10^{12}$ Hz 单色辐射的发光效率为定值, 从而定义坎德拉.

坐标系统

柱坐标系

image.png

柱面坐标表示为 $P(r, \theta, z)$

位置矢量、位移

位置矢量

从坐标系$O$到质点位置$P$可以构成一个矢量 $\vec{r}$ 叫做位置矢量(位矢).

位矢可以记作 $\vec{r} = r \vec{e_r}$ 其中 $\vec{e_r}$ 是沿这个方向的单位矢量. 直角坐标系中, 可以有 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ 三个单位矢量, 所以位矢可以记作$\vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}$.

大小和方向

$|\vec{r}|=r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
$\cos \alpha=\frac{x}{r} \cos \beta=\frac{y}{r} \quad \cos \gamma=\frac{z}{r}$

其中 $\alpha$等是 $\vec{r}$和坐标轴的夹角.

质点的运动方程

质点的位矢关于时间 $t$的方程就是运动方程 $\vec{r}(t)$. 然后可以得到参数方程, 参数方程消去 $t$ 可以得到轨迹方程.

位移

位移用 $\Delta \vec{r}$表示. $\Delta \overrightarrow{\boldsymbol{r}}=\overrightarrow{\boldsymbol{r}}_{b}-\overrightarrow{\boldsymbol{r}}_{a}$

$|\Delta \vec{r}| \neq \Delta r$

因为 $\Delta r$ 表示的是径向增量.

速度

平均速度

$v_{x, \text {ave}} \equiv \frac{\Delta x}{\Delta t}$

注意 平均速率是路程比时间

瞬间速度

$v(t) \equiv \lim _{\Delta l \rightarrow 0} v_{a v v}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \equiv \frac{d x}{d t}$

加速度

$$
a(t) \equiv \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{(v(t+\Delta t)-v(t))}{\Delta t} \equiv \frac{d v}{d t}
$$
$$
a=\frac{d v}{d t}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}
$$

【例子】 一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即

(1) $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} $
(2) $\frac{\mathrm{d}|r|}{\mathrm{d} t}$
(3) $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}$
(4) $\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}}$

哪个是对的?

【分析与解答】

瞬时速度的大小是 $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}$,分解后就是 $\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}}$,3,4 对。

【例子】 质点作曲线运动,若文表示位矢,s 表示路程,文表示速度, v 表示速率,a 表示加速度
大小, $a_{t}$ 表示切向加速度大小,则下列 4 组表达式中,正确的是

(A) $\frac{d v}{d t}=a, \quad \frac{d|\vec{r}|}{d t}=v$

(B) $\frac{d|\vec{v}|}{d t}=a_{t}, \quad\left|\frac{d \vec{r}}{d t}\right|=v$

(C) $\frac{d s}{d t}=v, \quad\left|\frac{d \vec{v}}{d t}\right|=a_{t}$

(D) $\frac{d \vec{r}}{d t}=\vec{v}, \quad \frac{d|\vec{v}|}{d t}=a$

【分析与解答】

$ \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t} $ 是切向加速度

$ \frac{d|\vec{r}|}{d t} $ 是位矢大小变化率。

$ \frac{d|\vec{v}|}{d t}=a_{t} $ 也是切向加速度。

$ \left|\frac{d \vec{r}}{d t}\right| $ 是速度的模。因为 $ \mathrm{d} \vec{r} $ 表示的是位移的模。

所以 B 是对的。

$ \frac{ds}{dt} $ 表示的是瞬时速度的大小。

$ \left|\frac{d \vec{v}}{d t}\right| $ 表示的是加速度的大小。

$ \frac{d \vec{r}}{d t}=\vec{v} $ 表示的是速度矢量。

$ \frac{d|\vec{v}|}{d t} $ 表示切向加速度

【例子】 一质点沿半径为 R 的圆周运动,其角坐标与时间的函数关系为 $\theta=10 \pi t+\frac{1}{2} \pi t^{2}(\mathrm{SI})$
则质点的切向加速度 $a_{t}=?$ 法向加速度 $a_{n}=?$

【分析与解答】 这是矢量函数在局部坐标系的分解问题。物理学上一般利用如下公式:

$$
a=\frac{dv}{dt}e_{t}+\frac{v^{2}}{r}e_{n}
$$

对于这道题,求导可得角速度 $ \omega = 10 \pi + \pi t $,从而线速度 $ v = \omega R = 10 \pi R + \pi R t $。所以切向加速度为 $ v' = \pi R $,法向加速度为 $ a_t = \dfrac{v^2}{R} = (100 \pi ^2 R^2 + 20 \pi ^2 R^2 t + \pi^ 2R^ 2t^2) / R = (10+t)^{2} \pi^{2} R$

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