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电路基础笔记：第二章 电阻的等效变换和电阻电路的一般分析

By pluvet

求下图中各电路的等效电阻 $R_{ab}$. 其中 $R1_ = R_2 = 1 \Omega, R_3 = R_4 = 2\Omega, R_5 = 4\Omega, G_1 = G_2 = 1S , R = 2\Omega$

(a) 很简单, 先把短路的$R_4$去掉, 就会发现是简单串并联.

(b) 送分题, 跳过

(c)(d) 把$a$ 扯到右边, 就会发现是两行简单串并联. 闭合$S$之后由于 $R_{3}$比$R_{4}$等于$R_{1}$比$R_{2}$, 电桥平衡, 所以电阻和之前一样. 如果不平衡列 KVL, KCL 就可以了.

目录
  1. 对称平衡电路的等效电阻变换
  2. $Y,\Delta$ 型等效变换
    1. $\Delta \to Y$ :邻边积除以总电阻
    2. $Y\to\Delta$: 总邻边积除以对面电阻
  3. 电源等效变换
    1. 电阻和电压源串联的等效
  4. 受控源
  5. 电流源和电压源串联的简化
  6. 支路电流法
  7. 网孔电流法
  8. 节点电压法
    1. 节点电压法的列写规则
    2. 节点电压法的几种特殊情况
  9. 叠加定理

对称平衡电路的等效电阻变换

(e) 是中心对称的平衡电路, 和 $3'$ 对称相隔的两组点($(1, 1'),(2,2')$)电势相等, 不会有电流流过, 所以可以直接从 $3'$ 拆开:

之后不用我废话了吧

$Y,\Delta$ 型等效变换

(f) 这题足够让人发懵了.

不过也有办法. 我们可以抽取出一个地方作为 $c$ 端, 向三端电路去凑.

这样, 我们可以分解出两个层:

image-20200320220554313

原来的电路就是把上面两层的 $a,b,c$ 接起来, 然后变换成三角形:

image-20200320220614727

到这里我们就知道怎么做了, 转换成三角形之后, 上下两层是并联关系, 各个等效成一个电阻, 后面就很容易了.

做题之前我们学习一下公式我这里直接借用维基百科上的公式, 感觉这个最好记.

$\Delta \to Y$ :邻边积除以总电阻

$$
{\displaystyle R_{\text{Y}}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}
$$
$$
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{2}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{3}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}
$$

$Y\to\Delta$: 总邻边积除以对面电阻

{\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\text{opposite}}}}}

$$
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\text{a}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\[3pt]R_{\text{b}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\[3pt]R_{\text{c}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}}
$$

带入计算可得上下两层电阻:

$R_{1}=\left(1+1+\frac{1 \times 1}{2}\right)=2.5 \Omega$
$R_{2}=\left(1+2+\frac{1 \times 2}{1}\right)=5 \Omega$
$R_{3}=R_{2}=5 \Omega$
$R_{1}^{\prime}=2+2+\frac{2 \times 2}{1}=8 \Omega$
$R_{2}^{\prime}=1+2+\frac{1 \times 2}{2}=4 \Omega$

$R_{3}^{\prime}=R_{2}^{\prime}=4 \Omega$

最终答案

$\begin{aligned} R_{\mathrm{ab}} &=\left[2 / /\left(R_{2} / / R_{2}^{\prime}\right)+\left(R_{1} / / R_{1}^{\prime}\right)\right] / /\left(R_{3} / / R_{3}^{\prime}\right) \\ &=[2 / /(5 / / 4)+(2.5 / / 8)] / /(5 / / 4) \\ &=\left[\frac{20}{19}+\frac{40}{21}\right] / / \frac{20}{9}=1.269 \Omega \end{aligned}$

电源等效变换

【例】下图电路，$u_{\mathrm{s} 1}=24 \mathrm{V}, u_{2,2}=6 \mathrm{V}, R_{1}=12 \Omega, R_{2}=6 \Omega, R_{3}=2\Omega$ . 图 b 为 a 的的等效电路.

image-20200320221121504

(1) 求等效电路的 $i_s$ 和$r$.

显然, 左边有两个电压源, 右边却变成了一个电流源, 这就是说, 可以把电压源等效为电流源

电阻和电压源串联的等效

R串电压源可以等效为 R 并电流源

image-20200320221650140

image-20200320221707012

我们不管外电路, 来看上面的图. 假定两图等效, 则有:

图一 $U = E-IR_0$ 图二 $U = (I_s - I)R_0$

电压等效, 所以 $E - IR_0 = (I_s - I)R_0$ $\to$ $E = I_sR_0$

我们看看这个公式是什么意思:

$$
\frac{E}{I_s} = R_0\\
$$

我们发现: 等效电压源电压:等效电流源=等效电阻

也可以说: 用不变的电阻, 可以把电压源等效为电流源

我们只要记住这个公式联系了三个等效, 并且抓住不变量, 就不会记错了.

来, 做题

image-20200320221121504

显然, $R_1, R_2$ 是方才所言的等效变换中的 $R_0$, 他们在等效前后不会变化, 所以等效之后, $R_1, R_2$ 是并联的关系. 再并上原本的 $R_3$, $R_并 = \frac{12\times 6 \times 2}{12+6+2} = \frac{144}{20} = 7.2\Omega$ , 分担到两个 $R$ 上, 那么每个 $R$ 就是 $7.2\times2 = 14.4$

等效电流的话, 就是各自的电动势除以各自的电阻, 然后叠加电流即可.

再看这一题:

image-20200320223307665

求两图中的输入电阻 $R_{ab}$

受控源

这里我们遇到了受控电压源/电流源. 在考试题中, 他们的电压电流一般是用系数 倍的值表示. 我们只要带着那个 系数$\mu$ , 把它当作一般理想电源进行计算就可以了.

(a) 中选参考方向如图, KVL $u_{\mathrm{ab}}=R_{2} i-\mu u_{1}+R_{1} i=R_{2} i-\mu\left(R_{1} i\right)+R_{1} i=\left(R_{1}+R_{2}-\mu R_{1}\right) i$

可得 $R_{\mathrm{ab}}=\frac{u_{\mathrm{ab}}}{i}=R_{1}+R_{2}-\mu R_{1}$ii

(b ) 中我们发现, 电流有好几个. 这个时候记住电流源提供的电流, 只是$i_2$ 上的一部分, 就不容易算错了.

$u_{\mathrm{ab}}=R_{1} i_{1}+R_{2} i_{2}=R_{1} i_{1}+R_{2}\left(i_{1}+\beta i_{1}\right)$

$R_{\mathrm{ab}}=\frac{u_{\mathrm{ab}}}{i_{1}}=R_{1}+R_{2}(1+\beta)$

电流源和电压源串联的简化

【例子】将下图的二端网络最简化

image-20200320232229732

这种情况非常容易处理. 直接把电压源拿走不用考虑.

电压源的效果是提供电压, 电流源提供电流.

当他们串联时, 对于最外两端, 电流是肯定有的, 大小就是电流源提供的电流大小.

两端电压呢? 不要把电流源当成电流表. 电流源好歹也是个电源, 电压自然是有的.

那么会不会有这种情况呢: 电流源串上一个电压源之后电压变大了?

image-20200320234034671

看这张图, 实际上我们发现, 外电路的电压由电流源决定($U = 10ma\times 1k = 1V$)

对于外电路含有电源的情况, 叠加上去即可, 无论如何, 这里的电压源都无法决定外电压.

电阻电路的一般分析

【例】求解电流 $i_5$, 已知 $R_1 = R_2 = 10, R_3 = 4, R_4 = R_5 = 8, R_6= 2, u_{s3} = 20, u_{s6} = 40$

image-20200321142409353

支路电流法

第一个想到的方法自然是列$KCL, KVL$

$$
\begin{array}{l}
i 1+i_{2}+i_{6}=0 \\
-i_{2}+i_{3}+i_{4}=0 \\
-i_{6}+\left(-i_{4}\right)+i_{5}=0 \\
i_{2} R_{2}+i_{3} R_{3}+u_{53}-i_{i} R_{1}=0 \\
i_{4} R_{4}+i_{5} R_{5}-u_{53}-i_{3} R_{3}=0 \\
i_{2} R_{2}+i_{4} R_{4}-u_{56}-i_{6} R_{6}=0
\end{array}
$$

书上说这个叫支路电流法, 但是对于支路的定义说法不一. 我们只管能用就行. 上面的方程是怎么列的呢?

对于前三个, 是选了三个节点, 每个节点流出电流的总和为 0, 故列出.

对于后三个, 是针对三个回环, 电压降低的总和为0, 故列出.

网孔电流法

上面的方法虽然列式容易, 但计算繁琐. 下面介绍网格电流法. 什么是网格:

img

上面是一只海豚, 可以发现它表面是无数个细分的三角形构成的. 我们任选三个以上顶点, 构成一个多边形, 这个多边形就可以称作网格:

image-20200321144324651

在电路中也是同理. 假设网格的边上流过了电流, 那么一圈下来就可以对电压降进行列式, 这就是网格电流法.

image-20200321144432442

对于本题:

$$
\left\{\begin{array}{l}
\left(R_{1}+R_{2}+R_{3}\right) i_{l 1}+\left(R_{1}+R_{2}\right) i_{l 2}-R_{2} i_{l 3}=-u_{\mathrm{S} 3} \\
\left(R_{1}+R_{2}\right) i_{l 1}+\left(R_{1}+R_{2}+R_{4}+R_{5}\right) i_{l 2}-\left(R_{2}+R_{4}\right) i_{l 3}=0 \\
-R_{2} i_{l 1}-\left(R_{2}+R_{4}\right) i_{l 2}+\left(R_{2}+R_{4}+R_{6}\right) i_{l 3}=-u_{\mathrm{Sb}}
\end{array}\right.
$$

从而可以直接求解.

(似乎?) 在二维电路中, 网孔电流法和回路电流法是等价的. 不过有教科书似乎认为, 网孔是不可再分的回路. 这里我不细究了, 能用就行.

【例子】求其中的 U。

image-20200321150548835

节点电压法

对于这方法, 首先我们要知道电导的定义 $G = \frac{1}{R}$, 从而有 $I = GU$

节点电压法的核心就在于, 把一系列的 $G_aU_b$ 加和起来表示电流. 而表示电流的话, 我们又回到了当初的 KC定律 , 这里或许叫 KG 定律会更好(doge).

这里我们把 0 号节点作为零势点. 于是目标就是求 $U_{n2}$ 也就是 2 号节点的电势.

image-20200321151921393

那么 $U_{n1} = 50$.

image-20200321152029308

$U_{n3} = 15I$

有了这两个参数之后, 就开始正式列式了. 你可能会有和我一样的疑问, 电势不是一个点上的吗, 跨过了电阻又该怎么列式? 诶, 这就对了, 当然不能只顾此电势, 不顾远处电势

我们都知道, 从一个点出去的电流的和必然为零:

image-20200321152452005

所以有:

$$
{\color{red}{-\frac{1}{5} u_{\mathrm{n} 1}}}+{\color{blue}\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\right) u_{\mathrm{n} 2}}{\color{red}-\frac{1}{4} u_{\mathrm{n} 3}}=0
$$

另外补充方程: $I = u_{n2} / 20$

其中各种x分之一的, 都是电导. 你会发现左右怎么还有两个黑色的式子? 那就是用来补偿远处点上未考虑的电势差的.

这就是节点电压法. (最终答案 32)

节点电压法的列写规则

本节点电压乘以本节点自电导，加上相邻节点电压乘以本节点与相邻节点之间的互电导，等于流入本节点所有电流源电流的代数和。(摘自祖传 PPT)

自电导(self conductance)，等于连接于节点i的所有电导之和。自电导恒为正。

节点i 与节点j之间的互电导 (mutual conductance)，等于i、j两节点的公有电导之和。互电导恒为负。

如果我们是自上而下地学习, 这句话一看就会懵了. 我也不明白为什么写教材的人不能说几句人话, 真当大家都是智商 250 的天才? 还是说是我太傻了, 这么简单的中文句子都读不通顺? 我个人觉得还是要从例子中学习, 而不是从知识的描述.

$$
{\color{red}{-\frac{1}{5} u_{\mathrm{n} 1}}}+{\color{blue}\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\right) u_{\mathrm{n} 2}}{\color{red}-\frac{1}{4} u_{\mathrm{n} 3}}=0
$$

image-20200321154022859

再多看她一眼: 这个式子和图是对应的, 红色的部分就是$\color{red}互电导$(乘以电势), 蓝色的部分就是$\color{blue}{自电导}$(乘以电势). 明白了吧? 你会说, 怎么红色的图里画了三个, 公式里怎么只有两个? 其实有一个是 $0$ 被我省略了, 因为 中间 20 ohm 电阻对面的电势是 $0$, $1\over 20$ 乘 $0$ 不还是 $0$ 吗.

节点电压法的几种特殊情况

(1) 若有一段电流源串联电阻, 则方程中忽略此电阻

祖传 PPT 给的理由: $R$ 对节点无贡献, 所以方程中不出现 R.

我的理由是 电流源的内阻是无穷大, 再串个电阻, 内阻还是无穷大, 这条路的电导是 0, 所以不考虑(正确与否, 就当是我猜的吧)

(2) 若支路为电压源与电阻串联, 则可等效为电流源与电阻并联

这种情况我觉得倒是没必要等效. 你看上面那题右边我们直接从电势补偿的角度考虑, 问题迎刃而解.

(3) 若支路含有电压源, 则设支路电流 i, 增列一个此路关于 u 的方程.

这其实就是补充一个伏安特性方程.

内容提要:

  • 叠加定理
  • 替代定理
  • 戴维南定理和诺顿定理
  • 最大功率传输定理
  • 电路的对偶特性

叠加定理

我们可以把线性电路(线性元件+独立源)看成一个复合函数

对于不同的输入参数$p_1(t), p_2(t)$(称为激励), 有不同的输出值 $r_1(t), r_2(t)$.(称为响应) 而当同时输入 $k_1p_1(t)+ k_2p_2(t)$ 的信号时, 响应的信号为 $k_1r_1(t)+k_2r_2(t)$.

比如我们有一个这样的电路:

image-20200320235443434

电压作为输入, 通过电阻的电流作为输出. 我给它加个 5V 电压, 输出一个电流 $i$, 我再给它加个 $5V$ 电压, 那么输出的电流一定是 $2i$.

同理, 任一元件的电压或者电流, 可以看作每一个独立电源单独作用(其它置零)的效果的叠加, 这就是叠加定理.出

电流置零<-开路

电压置零<-短路

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