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电路基础笔记:第一章 电路模型和电路定律

【例子】

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(1) u, i 的参考方向是否关联?

(2) u, i 的乘积表示什么功率?

(3) 若(a)图 $u>0, i<0$, (b) 图 $u>0, i>0$, 元件是发出还是吸收功率?

关联参考方向

$+-$表示电势, 箭头表示电流方向:

$+\to-$ 或者 $-\leftarrow +$ 就是关联参考方向.

$-\to+$ 或者 $+\leftarrow-$就是非参考关联方向.

说白了就是电流方向是否和电压方向一致(相关), + 表示相关, - 表示反相关.

答案: (a) 关联, (b) 不关联.

吸收功率和发出功率,功率平衡

电压电流方向相关(关联参考方向)时, 自然元件就要做功, 要做功就要耗能, 耗能就是吸收功率.

$P = k\cdot UI$ 其中 $k$ 表示是否关联, 是取 $1$, 不是取 $-1$. 如果 $P>0$ 就是在消耗能量, 吸收功率. 反之则是提供能量, 发出功率. 当一个完整电路的所有元件,吸收功率等于发出功率时,称其功率平衡

答案: 关联时乘积表示吸收功率. 不关联时乘积表示发出功率. 吸收功率为负值, 说明发出功率. 发出功率为负值, 说明吸收功率.

(3) (a) 中 $P = k\cdot UI = 1\times ui < 0$ 发出功率.(b) 中 $-1ui<0$ 发出功率.

这里正负搞不清楚的, 就把功率两个字看作"用电", 发出功率就是发电, 吸收功率就是耗电. 这样就不会记混了.

【例子】写出下面各个元件的$u,i$约束方程:

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约束方程

$u,i $ 约束方程其实就是 $u, i$ 之间的关系式(注意参考方向!!影响正负). 当然根据原件不同会牵扯进其它物理量, 比如时间 $t$.

比如 (a) 是一个电阻, 那么约束方程为 $u = -iR = - 1.0\times10^4 i$

常见元件

电阻

这两个都是电阻, 左边一般是中苏画法, 美国人喜欢画成右边那种.

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电感

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图 (b) 这种绕圈圈的元件就是电感. 注意不要和美式电阻混淆. 电感的实物图和符号很像:

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对于电感我们只要知道一句话: 它只阻碍电流的变化

现在盯着上面这个绕圈圈的电感, 每个圈圈都会对应一个磁通量($\phi$), 把各个圈圈磁通量的总和叫做 磁链 记作 $\Psi$ (psi) :

$$
\Psi = N \phi
$$

N 是匝数也就是有几个圈圈.

根据高中学过的电磁感应定理 $E_L = -\frac{d\Psi}{dt}$, $E_L$ 是自感电动势. 总磁通量的变化率$d\Psi/dt$就是电动势的大小, 没毛病. 负号说明是 阻碍作用 (和关联参考方向相反).

科学家做实验发现, 自感电动势的大小和电流的变化率成正比(记住这句话, 非常重要):

$E_L = k \frac{dI}{dt}$ 这个比例系数和线圈本身相关, 所以就拿来定义了物理量自感 $L$:

$$
E_L = -L\frac{dI}{dt}
$$

为啥又来了负号呢? 这是因为一般感应电动势$E_L$ 是负的, 所以这么一定义, $L$ 就是正的了, 就可以少写一个负号了(大雾).

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我们回过头看这道题, 就很容易得到答案, 约束方程为: $u = - 20\times 10^{-3}\frac{di}{dt}$

电容

电容高考考得够详细了, 大家都比较熟悉平行板电容器的电容:

$$
C = \frac{Q}{U}
$$

我一般记 $Q = CU$ .$See\ you$ 什么的, 听起来比较好记啦. 两边对时间求导得到

$$
i = C \frac{du}{dt}
$$

这就是电容元件的约束方程. 对于题 (c) 就是 $u=-20 \times 10^{-3} \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}$

(下面均指理想恒流源恒压源)

电压源

电压源是一个理想中的, 没有电阻的电源. 对于本题约束方程为 $u = -5V$.

电流源

电流源是理想中的, 能提供常量值的电流的电源. 对于本题, 约束方程为: $i = 2A$

电流源有内阻吗?

如果你像我一样脑洞大开想到这个问题, 你就会翻书, 发现上面说: 电流源的内阻无穷大.

然后我就纳闷了:

  • 电流源内阻无穷大
  • 电流源提供电流
  • 内阻无穷大的电路电流为 0

这**不是个悖论吗?

别急, 你可以想象一个电源, 它的伏安特性曲线这样:

伏安特性曲线

可以发现, 当电压到达一定值之后, 输出电流几乎不变. 它的斜率的导数, 也就是电阻, 阻值几乎是无穷大. 这就说得通了.

功率平衡

求题图1-6所示电路的电压 $U_{ab}$

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复杂电路求电势方法, 基尔霍夫定律

(a) 我们要求 ab 之间的电压, 就要知道 a 点电势和 b 点电势; 要求电势, 就要知道电流; 要求电流, 就要知道总电压; 如何求总电压?

首先, 我们取一个点作为零势点:

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然后取顺时针为正方向. 绕着走. 一开始我们的电势是 0.

沿着电流方向

遇到这样从大变小的电源符号, 就降低电势

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遇到这样从小变大的电源符号, 就升高电势

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所以走了一圈之后

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电势的变化是$u =0 -25 + 15 + 10 + 20 = +20(V)$

普通电阻的话不分正反, 所以全部加起来就是 $r=1 + 2 + 3 + 4 = 10(\Omega)$

因此电流就是 $i = u/r = 20/10 A = 2A$

知道了电流, 怎么求任意一点的电势呢?

我们都知道, 电流遇到阻碍, 电压会降低, 称为电压降.

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2A 的电流流过这个 $1\Omega$的电阻, 电压降低了 $u_1 = 2A \cdot 1 \Omega = 2V$

由于导线上各处电势相等, 流过后电势变为 $0-2V= -2V$, 所以$a$ 处电势是 $-2V$

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我们再来看零势点的另一边:

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电势从一个值 $u_b$ 上升$10V$, 然后遇到电阻下降$2\cdot 4V = 8V$, 遇到电源再上升$20V$, 来到零势点, 写成算式就是:$u_b+10-8+20 = 0$, 我们容易得到 $u_b = -22V$

根据电势差的定义$u_{ab} = u_a - u_b = -2V--22V = -2V + 22 V = 20V$, 这样就得到了最终答案.

这是一种分而治之的做法. 我们还可以用基尔霍夫电压定律(KVR), 规定 $b$ 为零势点, 那么就有

$u_{ab} = u_a - 0 = u_a = 0 + 10V - 8V + 20V - 2V = 20V$ ,结果是一样的:

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电流源和电压源

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下面来做第二题, 这道题看上去更复杂了. 首先我们认识电压源:

中间的杠和两边导线平行的是电压源. 它能提供电压, 让两边电压永远维持在一个值.

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中间的杠和两边导线垂直的是电流源. 它能提供电流, 让通过它的导线的电流永远维持在一个值.

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好, 我们来看这个局部电路:

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显然, 电流源提供 $4A$ 电流, 那么$3\Omega$ 电阻, $10\Omega$ 电阻通过的电流是多少呢?

这个问题当时很困扰我, 奇怪的是我看了几本书都没有在本章正文直视这个问题, 正文全是简单串联电路, 然后一到习题部分就出现这种复杂电路(╯‵□′)╯︵┴─┴

书上的做法是 $4\times3$ , 难道说4A电流源可以向并联的元件提供4A电流? 错!!!

其实真相是这样的:

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下面我们纵观全局:

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这里其实有两个回路:

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标出各段的电压降(中间$10\Omega$为啥是$0V$? 因为它身上没有通过电流!):

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要求$u_{ab}$, 所以我们不妨把$b$ 当作零势点

所以从$b$点绕到$a$ 点, 列KVL:

$0 - 15V - 50V +0V + 12V = u_a = -53V$

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