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逻辑学笔记一

逻辑学: 研究[用于区分正确推理与不正确推理的]方法和原理.[^1]

狭义的逻辑学[^2]: 研究前提如何从形式上有效地必然推导结论的科学.(演绎有效性)

广义的逻辑学: 研究如何把好与不好的推理或论证区分, 前提对结论的支持程度. (演绎有效性 && 归纳有效性)

命题: 可被肯定或否定者. // 我认为, 命题可以理解为[[返回真或假的] 语句的]意义.

Leslie won the electionThe election was won by Leslie. 是不同的语句, 但意思一样, 是同一个命题.

It is raining. Il pleut. 是不同语言的语句, 但意思一样, 是同一个命题.

[^1]: 欧文·M·柯匹 (Irving M.Copi) 的第十一版(此后简称参考书 A), p5.
[^2]: 熊明辉逻辑学导论(此后简称参考书 B), p3.

演绎推理: 从给定前提必然地推导出结论. 对应的是演绎有效性.

归纳推理: 根据经验观察, 推测出结论. 对应的是归纳有效性(归纳强度).

思考题

(1)到目前为止,我所遇到的蒙古人都能喝酒,因此,所有蒙古人都能喝酒。
(2)火车烧煤常常溅出火星,引燃农田。这辆火车是烧煤的,因此,它肯定会引燃农田。

(1) 是归纳推理. (2) 是演绎推理

逻辑系统的四大定理

逻辑系统(形式系统): 形式语言和推论规则集组成. 是我们进行推导的工具. (就像 C 语言 + C标准库)

  1. 一致性定理: 不自相矛盾。逻辑系统内的定理之间不能矛盾(contradiction). 按照矛盾的两种形式——语义矛盾和语法矛盾,可以把一致性分为两种:

    • 语义一致性:所有命题可以同时为真,则是一致的。
    • 语法一致性:不存在命题 $P$,$s.t.\ P\rightarrow Q$ 和 $P\rightarrow\neg Q$ 同时成立。也叫语形一致性。
  2. 有效性定理:从真前提推出假结论,就是无效的。

  3. 可靠性定理:

    • 逻辑系统可靠:当仅它的推论规则只证明对其语义学有效的公式。
    • 论证可靠:当仅论证有效且前提为真
  4. 完备性定理:不存在逻辑系统内不能证明的真命题。

哥德尔不完备定理表明:不存在既一致又完全的算术形式系统。

区分形式逻辑,符号逻辑和数理逻辑

  • 形式逻辑:用纯粹形式研究推论有效性
  • 符号逻辑:研究逻辑推论形式特征的符号抽象
  • 数理逻辑:研究符号逻辑在其他领域中的延伸

符号逻辑和形式逻辑的区别^3:

符号逻辑意味着使用符号(symbol)而不是白话的文本(prose)来表述.

形式逻辑意味着把逻辑分解为一步步的证明, 以至可以直接用固定的公式进行有效性验证, 而不需要人类的直观(intuition)验证. 所有的形式逻辑都是符号逻辑.

命题逻辑, 也称命题演算系统, 是一个形式系统, 通过逻辑运算符操作原子命题的表达式表示命题.

谓词逻辑, 是符号形式系统的概括性称呼.

模态逻辑 是处理用模态如“可能”“或许”“可以”“一定”“必然”等限定的句子的逻辑. 在模态逻辑中

  • $\Box$ 表示必然
  • $\Diamond$ 表示可能

非形式逻辑: 研究自然语言论证.

逻辑哲学和哲学逻辑的区别

  1. 逻辑哲学: [[逻辑]哲学]
  2. 哲学逻辑: [[哲学]逻辑]

实质蕴涵、严格蕴含和逻辑蕴含

实质蕴涵表示: 如果 $X$ 为真, 那么 $Y$ 为真.

★重要性质 实质条件$X\rightarrow Y$为假, 当且仅当$X$为真, $Y$ 为假, 其余情况都算$X\rightarrow Y$为真.

这意味着, 只要 $Y$ 为真或者$X,Y$都假, 实质条件就为真.(分析$X,Y$各为真假的四种情况, 很容易得到)

实质蕴涵存在一些悖论, 比如:
$$
(\neg p\wedge p)\rightarrow q
$$
我们假设这个实质条件$(\neg p\wedge p)\rightarrow q$为假, 也即为$(\neg p\wedge p)$真, $q$ 为假, 而$(\neg p\wedge p)$恒为假, 所以不成立, 所以这个实质条件为真. 这样一来, 就意味着矛盾推出一切(防暴原则). 这个例子的悖论叫做衍推悖论(paradox of entailment).

再如:
$$
\neg p\rightarrow (p\rightarrow q)
$$
假设其为假:

  1. 如果这样, 那么$\neg q$ 为真, $p\rightarrow q$为假(性质).
  2. 既然$\neg q$为真, 那么 $q$ 为假(二值原则).
  3. 又有$p\rightarrow q$为假, 那么有 $p$ 真, $q$ 假(性质).
  4. 但是前面又说 $\neg q$ 为真, 矛盾了(违反了语法一致性).

假设其为真, 则两者之一成立:

  1. $p\rightarrow q$

    1. 既然如此, 那么: $p$真, $\neg q$假
  2. $p\wedge\neg(p\rightarrow q)$

    1. 那么$p$ 真, $q$ 假

$\neg q$假,$q$ 假, 矛盾了.

于是我们得到一个悖论.

实质蕴涵悖论有两种类型:

  1. 涉及反事实条件句, 比如矛盾推出一切.
  2. 涉及多余前提, $p\rightarrow q$, 如果 $q$真, 那么实质条件一定真. 但是这样的话 $p,q$ 并没有什么关系.

为了避免悖论, 提出了严格蕴涵的概念.

严格蕴含: 如果$\neg\Diamond(p\wedge\neg q)$那么$p$严格蕴含$q$, 记作 $A\Rightarrow B$. 也就是说, 如果不可能$p$和$\neg q$同时成立, 那么$p$严格蕴含$q$. 也记作 $\Box (p\rightarrow q)$.

逻辑蕴含: 如果由$A$ 中所有句子可以推导出$B$ 中所有句子, 那么$A$逻辑蕴含$B$, 读作$B$可以由$A$证明.记作 $A\vdash B$. 其中$A$ 叫做前件, $B$ 叫做后件.

PS: 经典逻辑不容忍不一致性, 但是某些非经典逻辑能够容忍不一致性.

符号表:
$$
合取:\wedge\
\
析取:\vee\
\
否定:\neg\
\
蕴含(条件):\rightarrow\
\
双条件:\leftrightarrow\
\
推出:\Rightarrow\
\
等价:\Leftrightarrow\
\
任意:\forall\
\
存在:\exists\
$$

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