为了避免反复抄表, 减少抄写错误; 避免分数运算, 提高运算准确率, 应付考试, 发明此法.
操作示范
求通解
$\left{\begin{array}{c}{x{1}+x{2}-6 x{3}-4 x{4}=-1} \ {3 x{1}-x{2}-6 x{3}-4 x{4}=9} \ {2 x{1}+3 x{2}+9 x{3}+2 x{4}=7} \ {2 x{1}-3 x{2}-21 x{3}-10 x{4}=1}\end{array}\right.$
解:
首先去除第四行, 显然是由前三行以 $1:1:-1$ 凑出来的, 是无效行.
对于
$\left{\begin{array}{l}{x{1}+x{2}-6 x{3}-4 x{4}=-1} \ {3 x{1}-x{2}-6 x{3}-4 x{4}=9} \ {2 x{1}+3 x{2}+9 x{3}+2 x{4}=7}\end{array}\right.$
计算过程如下
// 首先列出增广矩阵:
1 1 -6 -4 -1
3 -1 -6 -4 9
2 3 9 2 7
// 对于上面, 用第 1 行减去第 2 行, 得到新行 -2 2 0 0 -10 放在下面.
// 同时把 1 或 2 行中的更复杂一行做 x 标记, 表示弃用:
1 1 -6 -4 -1
x 3 -1 -6 -4 9
2 3 9 2 7
-2 2 0 0 -10
// 对于上面: 末两行作差, 得到新行放在下面.
// 同时把作差两行中的更复杂一行做 x 标记, 表示弃用:
1 1 -6 -4 -1
x 3 -1 -6 -4 9
x 2 3 9 2 7
-2 2 0 0 -10
0 5 9 2 -3
// 如此下去, 即可解出.草稿纸是这样的:
x 1 1 -6 | -4 -1
x 3 -1 -6 | -4 9
x 2 3 9 | 2 7
x -2 2 0 | 0 -10
x 0 5 9 | 2 -3
x -1 1 0 | 0 -5
x 0 2 -6 | -4 -6
x 0 1 -3 | -2 -3
x 0 5 -15 | -10 -15
x 0 0 24 | 12 12
x 0 0 2 | 1 1
x 0 0 18 | 9 9 // 为了避免分式运算, 把两行各自扩大到最小公倍数, 并弃用各自原行
x 0 10 18 | 4 -6
x 0 10 0 | -5 15
x 0 2 0 | -1 -3
x 0 0 2 | 1 1
x -2 2 0 | 0 -10
2 0 0 | -1 7
0 2 0 | -1 3
0 0 2 | 1 1草稿运算过程中不会有任何分数的计算
不用进行任何重复誊抄
最后得到的对角矩阵, 三行各自除以主元系数 2 就得到了答案.
$\left(\begin{array}{cccc|c}{1} & {0} & {0} & {-\frac{1}{2}} & {\frac{7}{2}} \ {0} & {1} & {0} & {-\frac{1}{2}} & {-\frac{3}{2}} \ {0} & {0} & {1} & {\frac{1}{2}} & {\frac{1}{2}} \ {0} & {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right)$