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线性代数:行最简化的竖式方法

为了避免反复抄表, 减少抄写错误; 避免分数运算, 提高运算准确率, 应付考试, 发明此法.

操作示范

求通解

$\left{\begin{array}{c}{x{1}+x{2}-6 x{3}-4 x{4}=-1} \ {3 x{1}-x{2}-6 x{3}-4 x{4}=9} \ {2 x{1}+3 x{2}+9 x{3}+2 x{4}=7} \ {2 x{1}-3 x{2}-21 x{3}-10 x{4}=1}\end{array}\right.$

解:

首先去除第四行, 显然是由前三行以 $1:1:-1$ 凑出来的, 是无效行.

对于

$\left{\begin{array}{l}{x{1}+x{2}-6 x{3}-4 x{4}=-1} \ {3 x{1}-x{2}-6 x{3}-4 x{4}=9} \ {2 x{1}+3 x{2}+9 x{3}+2 x{4}=7}\end{array}\right.$

计算过程如下

// 首先列出增广矩阵:
    1   1   -6  -4  -1
    3   -1  -6  -4  9
    2   3   9   2   7
// 对于上面, 用第 1 行减去第 2 行, 得到新行 -2 2   0   0   -10 放在下面.
// 同时把 1 或 2 行中的更复杂一行做 x 标记, 表示弃用:
    1   1   -6  -4  -1
x   3   -1  -6  -4  9
    2   3   9   2   7
    -2  2   0   0   -10
// 对于上面: 末两行作差, 得到新行放在下面.
// 同时把作差两行中的更复杂一行做 x 标记, 表示弃用:
    1   1   -6  -4  -1
x   3   -1  -6  -4  9
x   2   3   9   2   7
    -2  2   0   0   -10
    0   5   9   2   -3

// 如此下去, 即可解出.

草稿纸是这样的:

x   1   1   -6  |   -4  -1
x   3   -1  -6  |   -4  9
x   2   3   9   |   2   7
x   -2  2   0   |   0   -10
x   0   5   9   |   2   -3
x   -1  1   0   |   0   -5
x   0   2   -6  |   -4  -6
x   0   1   -3  |   -2  -3
x   0   5   -15 |   -10 -15
x   0   0   24  |   12  12
x   0   0   2   |   1   1
x   0   0   18  |   9   9   // 为了避免分式运算, 把两行各自扩大到最小公倍数, 并弃用各自原行
x   0   10  18  |   4   -6
x   0   10  0   |   -5  15
x   0   2   0   |   -1  -3
x   0   0   2   |   1   1
x   -2  2   0   |   0   -10

    2   0   0   |   -1  7
    0   2   0   |   -1  3
    0   0   2   |   1   1

草稿运算过程中不会有任何分数的计算

不用进行任何重复誊抄

最后得到的对角矩阵, 三行各自除以主元系数 2 就得到了答案.

$\left(\begin{array}{cccc|c}{1} & {0} & {0} & {-\frac{1}{2}} & {\frac{7}{2}} \ {0} & {1} & {0} & {-\frac{1}{2}} & {-\frac{3}{2}} \ {0} & {0} & {1} & {\frac{1}{2}} & {\frac{1}{2}} \ {0} & {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right)$

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