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线性代数:初等变换的左乘和右乘

$A=\left(\begin{array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right)$ P 为初等方阵. 若 $P A=\left(\begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {2 a_{11}+a_{21}} & {2 a_{12}+a_{22}} & {2 a_{13}+a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right)$$AP$ 为?

这里极易认为只要交换行列就行了, 所以答案是

$$
\left(\begin{array}{lll}
{a_{11}} & {a_{12}+2a_{11}} & {a_{13}} \\
{a_{21}} & {a_{22}+2a_{21}} & {a_{23}} \\
{a_{31}} & {a_{32}+2a_{31}} & {a_{33}}
\end{array}\right)
$$

这样的做法错了.

为了避免出错, 我使用如下做法.

首先, 我用 $L$ 表示行, $C$ 表示列写出左乘时的表达式:

$$
L_2^{'} = L_2 + 2L_1
$$

现在置换行列和下标(倍加系数不变)得到

$$
C_1^{'} = C_1 + 2C_2
$$

这就是右乘的含义, 表示第一列赋值为原第一列加上二倍原第二列.

答案:

$A P=\left(\begin{array}{lll}{2 a_{12}+a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {2 a_{22}+a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {2 a_{32}+a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right)$

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