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几何学:两直线定面的代数方法

我们要做什么: 已知两直线方程, 求面的标准 $Ax+By+Cz+D = 0$ 方程

两直线定面, 则两直线不异面, 即要么平行, 要么相交.

如果直线是点向式的, 比如以各维参数方程给出, 或是以各维比值关系给出. 例如:

$L_{1}:\left{\begin{array}{l}{x=-1+t} \ {y=1+3 t} \ {z=3-4 t}\end{array}\right.$

$L_{2}: \frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{1-z}{2}$

那么, 我们可以得到什么?

直线可以看作一个空间偏移量(用一个对应维度向量表示) 加上一个方向向量乘以缩放系数.

例如$L_1$, 可以看作 $\begin{pmatrix}x\ y\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\ 1\ 3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\ 3\ -4\end{pmatrix}$.

有两直线, 可以得到其方向向量, 有方向向量, 可以求出它们所在平面的法向向量, 做法高中讲过.

求得的结果就是平面标准方程的 $A, B, C$ 系数. 再带入偏移量向量(为什么可以带入?因为该向量的终点必然在直线上, 直线属于平面, 所以该向量的终点属于平面) 可以得到 $D$ 系数.

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