Site Overlay

线性代数:矩阵形式的初等变换的逆变换

初等方阵一文中,我们研究了各种初等方阵,而矩阵就是线性变换,初等方阵的逆矩阵就是线性变换的逆变换。

有这样的性质:

对矩阵 $A$ 左乘变换 $T=\begin{pmatrix}1&0&0\ 0&1&0\ 0&2&1\end{pmatrix}$, 注意到 $T$ 的三行二列位置是 2, 表示把 $A$ 矩阵的第三行加上 2 倍的第二行.

用程序设计的想法可以表达为: $Line_{3}'=Line_3+2Line_2$

对 A 求逆得到其逆变换:
$$
T^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\ 0&1&0\ 0&2&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\ 0&1&0\ 0&-2&1\end{pmatrix}
$$

注意到 $T^{-1}$ 的三行二列位置是 -2, 表示把 $A$ 矩阵的第三行减去 2 倍的第二行.

用程序设计的想法可以表达为: $Line3 = Line{3}' - 2Line_2 $

对照这两句话:

  1. 把 $A$ 矩阵的第三行加上 2 倍的第二行.
  2. 把 $A$ 矩阵的第三行减去 2 倍的第二行.

这两句话从逻辑上正表达了这种逆变换.

实际上, 我们求初等方阵的逆矩阵, 根本不必进行代数计算, 直接根据变换的含义写出能"变回去"的初等方阵即可.

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注