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微积分与几何:体积、曲线长度和表面积问题

积分与几何

体积积分问题

  1. 求球体 $x^2+y^2+z^2=r^2$ 的体积
  2. 求 $y = \sqrt{x}$ 在 $(0,x_0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周形成的体积

解: 设与 $yOz$ 平行的面在 $x$ 处与球体相交, 截面面积是 $A(x)$. 根据勾股定理, $A(x)=\pi y^{2}=\pi\left(r^{2}-x^{2}\right)$.
$$
\begin{aligned} V &=\int{-r}^{r} A(x) d x\&=\int{-r}^{r} \pi\left(r^{2}-x^{2}\right) d x \ &=2 \pi \int{0}^{r}\left(r^{2}-x^{2}\right) d x \ &=2 \pi\left[r^{2} x-\frac{x^{3}}{3}\right]{0}^{r}=2 \pi\left(r^{3}-\frac{r^{3}}{3}\right) \ &=\frac{4}{3} \pi r^{3} \end{aligned}
$$

解: 设截面面积是 $A(x)=\pi y^2 = \pi x$
$$
\begin{align}V=\int_0^{x_0}A(x)dx = \pi \int_0^{x_0}xdx=\frac{\pi x_0^2}{2}\end{align}
$$

曲线长度问题

eg. 求 $y=x^{3/2}$ 在 $(1,1)$ 到 $(4,8)$ 之间的曲线长度

要求曲线长度, 我们可以把曲线分解为一系列的线段, 线段长度近似为曲线长度

image-20191227204640163.png

当划分为的份数$n$趋向于$\infty$时, 误差就趋向于$0$

曲线的长度就是 $L=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=1}^{n}\left|P{i-1} P{i}\right|$

$\left|P{i-1} P{i}\right|=\sqrt{\left(x{i}-x{i-1}\right)^{2}+\left(y{i}-y{i-1}\right)^{2}}=\sqrt{(\Delta x)^{2}+\left(\Delta y_{i}\right)^{2}}$

但是这样还不利于计算.

根据中值定理, 区间上必然有一点斜率等于两端点斜率, 也即, 存在 $f'(t_i)$ 使得

$f\left(x{i}\right)-f\left(x{i-1}\right)=f^{\prime}\left(ti\right)\left(x{i}-x_{i-1}\right)$

带入 $|P_{i-1}Pi|$ 的表达式, 就可以得到

$L=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=1}^{n}\left|P{i-1} P{i}\right|=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=1}^{n} \sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(ti\right)\right]^{2}} \Delta x = \int{a}^{b} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x$

这种公式不是太好记, 我们完全可以记作:
$$
\int_a^b\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}
$$
这样直接勾股定理积分就行, 没有什么记忆负担. 甚至你可以直接记
$$
\int_a^bds
$$

用 $y=x^{3/2}$ 练练手:
$$
\int_a^b\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}= \inta^b\sqrt{(dx)^2+\frac{9}{4}x(dx)^2} = \int{1}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4} x} d x
$$
使用换元积分, 可得答案 $\frac{1}{27}(80 \sqrt{10}-13 \sqrt{13})$

表面积问题

e.g. 求曲线 $y=\sqrt{4-x^{2}},-1 \leqslant x \leqslant 1$ 绕 $x$ 轴一周形成的表面面积.

直到了曲线长度, 求表面积就十分简单了. 我们把它看作无数绕$x$轴的圆圈粘在一起, 那么求出每个圆柱的侧面积, 再加起来就是了. 侧面积就是 $ds$ (一小段曲线长度) 乘以 $2\pi y$ (周长). 所以对于本题:
$$
S=\int{-1}^1 2\pi y\operatorname{d}s=\int{-1}^1 2\pi y \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\=\int_{-1}^{1} 2 \pi y \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x
$$
最终结果是 $8\pi$

极坐标系下的几何微积分问题

面积问题

eg. 求四叶玫瑰 $r=\cos 2\theta$ 的一片叶的面积

image-20191227212820641.png

解: 我们都知道扇形面积公式 $S=\frac{1}{2}\theta r^2$ , 极坐标下的面积, 可以看作无数个小面积 $dS$的积分. 两边微分有: $dS =\frac{1}{2}r^2d\theta $ 对于每个$dS$ 其 $r$ 与对应的 $\theta$ 关联, 对于本题是 $r=\cos 2\theta$ , 因此有: $dS =\frac{1}{2}(\cos 2\theta)^2d\theta $, 对它积分, 可以得到面积公式.
$$
\begin{align}
&\int \frac{1}{2}\left(\cos \left(2θ\right)\right)^2dθ\ &=\frac{1}{2}\cdot \int \cos ^2\left(2θ\right)dθ\
&=\frac{1}{2}\cdot \int \frac{1+\cos \left(4θ\right)}{2}dθ\
&=\frac{1}{2}\cdot \int \frac{1+\cos \left(4θ\right)}{2\cdot 4}d(4θ)\
&=\frac{1}{4}\left(θ+\frac{1}{4}\sin \left(4θ\right)\right)+C
\end{align}
$$

所以 $S=\int{0}^{\pi / 4} \frac{1}{2}(1+\cos 4 \theta) d \theta=\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{1}{4} \sin 4 \theta\right]{0}^{\pi / 4}=\frac{\pi}{8}$

通用面积公式
$$
A=\int_{a}^{b} \frac{1}{2} r^{2} d \theta
$$

弧长问题

eg. 求心形线 $r=1+\sin\theta$ 弧长
$$
L=\int_a^bds=\int_a^b\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}
$$
问题来了, 我们这是极坐标系, 哪儿来的 $x,y$? 没事, 消掉它!
$$
L=\inta^b\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\int{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d x}{d \theta}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}} d \theta
$$
由于
$$
x=r\cos \theta\
y=r\sin \theta
$$
求导有:
$$
dx=-r\sin \theta d\theta\
dy=\ \ \ r\cos \theta d \theta\
$$
带入 $L$
$$
\int{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d x}{d \theta}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}} d \theta = \int{a}^{b} \sqrt{\left(-r\sin \theta\right)^{2}+\left(r \sin \theta\right)^{2}} d \theta = \int _a ^b rd\theta
$$
你会发现这不就是弧长公式吗? 我们推出了微分形式的弧长公式. 但是它是错的. 如果你带入 $a=0, b=2\pi$ 会得到 $L = 2\pi$, 正确答案是 $L=8$ 问题出在哪?

问题在于误差太大了. 而推导错在"求导"一步. $r$ 也是一个变量, 我们必须对它也求导. 使用乘积求导法则有:
$$
d x=\cos \theta d r-r \sin \theta d \theta\
d y=\sin \theta d r+r \cos \theta d \theta
$$
所以有:
$$
\begin{aligned} \Rightarrow\left(\frac{d x}{d \theta}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2} &=\left(\cos \theta \frac{d r}{d \theta}-r \sin \theta\right)^{2} \ &+\left(\sin \theta \frac{d r}{d \theta}+r \cos \theta\right)^{2} \
\text{打开平方}&=\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}+\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right) r
\&=(\frac{d r}{d\theta})^{2}+r
\end{aligned}
$$
所以
$$
L=\int{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d x}{d \theta}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}} d \theta =\int{a}^{b}\sqrt{(\frac{d r}{d\theta})^{2}+r}d\theta
$$
对于本题
$$
L=\int{0}^{2 \pi} \sqrt{r^{2}+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} d \theta=\int{0}^{2 \pi} \sqrt{(1+\sin \theta)^{2}+\cos ^{2} \theta} d \theta=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{2+2 \sin \theta} d \theta=8
$$

c.f.https://math.stackexchange.com/questions/1893050/why-is-the-formula-arc-length-int-r-times-d-theta-not-correct

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