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变限积分之数形理解

对于 $g(x) = \int_0^x f(t)dt$

这个式子要怎么理解? t 是什么? f(t)dt 是什么? g(x) 表示什么?

首先我们要理解 $\int_0^x$ 表示什么. $\int_0^x$ 表示的是后面的表达式自变量的积分范围是$(0,x)$

也就是说, $u(t) = f(t)dt$ 中 $t$ 的取值范围在 $(0,x)$

那么 $f(t)dt$ 又表示什么呢? 为什么不是 $f(x)dx$?

显然, $dt$ 是一个无穷小量, $f(t)$ 表示$t$ 处的函数值, $f(t)dt$ 因此表示 $t$ 处图像的面积.

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我们看到 $dt$ 其实就是 $(0,x)$ 上极其微小的一段, $t$ 就是 $(0,x)$ 上的一个值, 我们完全可以叫它 $x_0$

而积分就是这样的一堆面积的叠加.

所以, $\int_0^x f(t)dt$ 其实就是表示: 让$t$ 或者说 $x_0$ 遍历 $(0,x)$ 上的每个位置, 分别乘以对应的函数值 $f(t)$ 或者说 $f(x_0)$ 然后把这些小长方形加起来.

每当 $x$ 变化, 就对应一个面积. 所以 $\int_0^x f(t)dt$ 就是表示 $f(x)$ 在 $(0,x)$ 与 $x$ 轴围成的面积, 这个面积也可以记作 $\int_0^x f(x)dx$, 你要是喜欢, 也可以记作$\int_0^x f(x_0)dx_0$ , 所以你的老师会说 $\int_0^x f(x)dx$ 里面的 $x$ 可以看作一个常数.

举一个具体的例子, 当 $f(t) = t$ 时 $g(x) = \int_0^x t dt$ 也就说明 $g(x) = \frac{x^2}{2}$

反常/无穷/广义积分

例子: $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

现在, 我们就知道, 这个式子表示 $\frac{1}{x^2}$ 在 $(0,+\infin)$ 和 $x$ 轴围成的面积(实际上是发散的), 也即:

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变上限积分求导问题

我们知道, $\int_0^x f(t)dt$ 就是表示 $f(x)$ 在 $(0,x)$ 与 $x$ 轴围成的面积, 对$f(x)$求导就是求 $df(x)\over dx$, 所以对 $\int_0^x f(t)dt$ 求导, 就是求 $f(x)$ 在 $(0,x)$ 与 $x$ 轴围成的面积的微分$d(\int_0^x f(x)dx)$ 与 $dx$ 的比

我们令 $F(x)=\int f(x)dx$ 又有: $d(F(x)) = F'(x)dx$

而 $F'(x) = f(x)$ , 带入 $d(F(x)) = F'(x)dx$

得到 $dF= f(x)dx$ 两边除以 $dx$, 得到 $dF/dx = f(x)$, 而根据$F(x)$ 的定义, $d(\int_0^x f(x)dx) = F(x)$, 所以对 $\int_0^x f(t)dt$ 求导, 结果就是 $f(x)$

例子: 求导 $\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t$

答: $\left(\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t\right)^{\prime}=e^{-x^{2}}$(就是把 $t$ 换成了 $x$)

例子: 求导 $\int_{0}^{\sqrt{x}} \sin t^{2} d t$

答: $(\int_{0}^{\sqrt{x}} \sin t^{2} d t)^{'} = \sin x d\sqrt{x}/dx = \sin xdx^{-\frac{1}{2}}/dx = \sin x \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}dx/dx = \frac{\sin x}{2 \sqrt{x}}$

例子: $y=\int{0}^{x}(t-1)(t-2) d t$ 求$y^{'}|{x=0}$

答: $y'=(x-1)(x-2)dx/dx = (x-1)(x-2)$ $y'(0) = (0-1)(0-2) = -1\cdot-2 = 2$

是不是很简单?

变复合函数上限积分求导

$$
我们都知道
g(x)=\int_0^{x}f(t)dt 的导数就是\frac{dg}{dx}\
现在如果把上面的 x 换成复合函数u,也即
g(x)=\int_0^{u(x)}f(t)dt, 这个时候求导就用复合函数求导法则就行, 推导细节如下\
则\frac{dg}{du}=g'(u)=f(u)\
而 \frac{dg}{dx}=\frac{dg}{\color{blue}du}\cdot\frac{\color{blue}du}{dx}\
带入得到\frac{dg}{dx}=g'(u)u'(x)=f(u)\cdot u'(x)
$$

书上一般会给这样的形式
$$
(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(t) dt))’ = f(\phi_2(x)) \phi’_2(x) - f(\phi_1(x)) \phi’_1(x)
$$
他的名字叫做Leibniz integral rule 只要知道它是复合函数求导这一本质, 记忆起来也就没有任何难度了.

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