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线性代数:$r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ “和的秩小于秩的和” 句读

把 $A,B$ 看作两个列向量组, 那么运算 $A+B$ 表示的是向量的批量对应叠加.

考虑 $A=\begin{pmatrix}1\ 2\ 0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2\ 3\ 0\end{pmatrix}$ 把它们相加, 或者各放缩(乘以$k$)后叠加, 无论如何都不可能出来一个 $z$ 值不是 $0$ 的向量, 向量叠加不会增加维度. 但是, 向量相加却会减少维度, 考虑 $-2A+B = -2\begin{pmatrix}1\ 2\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\ 3\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\ -1\ -2\end{pmatrix}$, 看到了吗, 结果的 $x$ 值变成了 $0$, 也就是说这导致叠加后的维度减少 $1$. 所以这个定理就是:

向量相加, 维度不增加

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