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线性代数:齐次线性方程组重要性质 $n-r=R_s$ 的解读

我们从同济课本的一个例题入手:

求解方程组

$\left{\begin{array}{r}{x{1}+2 x{2}+2 x{3}+x{4}=0} \ {2 x{1}+x{2}-2 x{3}-2 x{4}=0} \ {x{1}-x{2}-4 x{3}-3 x{4}=0}\end{array}\right.$

系数矩阵 $A=\left(\begin{array}{rrrr}{1} & {2} & {2} & {1} \ {2} & {1} & {-2} & {-2} \ {1} & {-1} & {-4} & {-3}\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right)$ (当然, 最后一行常常不写)原方程组可以记作 $AX=B$, 此处$B=O, X=[x_1\dots x_4]^T$

我们可以看作对 $A$ 施加一个线性变换 $X$, 使得向量组$A$变换为 0 维向量组(原点).

也可以看作对向量 $X$ 施加一个线性变换 $A$, 使得向量$X$变换为 0 维向量组(原点).

不管如何, 题目希望我们求出 $X$

对 $A$ 施加初等行变换, 使其行最简化, 这意味着把$A$中的向量尽可能归入低维度.

按照我们惯用的解法会得到这样的方程组:

$\left{\begin{array}{l}{x{1}=2 x{3}+\frac{5}{3} x{4}} \ {x{2}=-2 x{3}-\frac{4}{3} x{4}}\end{array}\right.$

最后解出 $X = \left[\begin{array}{l}{x{1}} \ {x{2}} \ {x{3}} \ {x{4}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{2 c{1}+\frac{5}{3} c{2}} \ {-2 c{1}-\frac{4}{3} c{2}} \ {c{1}} \ {c{2}}\end{array}\right]=c{1}\left(\begin{array}{r}{2} \ {-2} \ {1} \ {0}\end{array}\right)+c{2}\left(\begin{array}{r}{\frac{5}{3}} \ {-\frac{4}{3}} \ {0} \ {1}\end{array}\right)$

假设解构成的集合(解空间)是 $S$

$r(A)=2$, 来源: 行最简化后$A$的最高维向量的维度是 2.

$r(S) = 2$ 来源: $n-r(A) = 4-2=2$ 具体来说, 我们得到方程组 $\left{\begin{array}{l}{x{1}=2 x{3}+\frac{5}{3} x{4}} \ {x{2}=-2 x{3}-\frac{4}{3} x{4}}\end{array}\right.$ 之后, 左边是主元 $x_1, x_2$ 右边有自由未知量 $x_3, x_4$, 是主元从何而来? 来自于行阶梯化后的非零行, 所以非零行有几个, 主元就有几个. 同时非零行有几个, 就是几, 所以秩是$r(A)$, 非零行就有$r(A)$个, 主元就有$r(A)$个.

那么, 由于 所有未知量只包括主元和自由未知量, 根据加减法原理, 所有未知量的数目$r{max}(X)$, 减去主元数目后剩下的, 就是自由未知量的数目. 也即 $r{max}(X) = n - r(A) $, 所以 $r(X) \leq n - r(A) $

这里为什么写 $r_{max}(X)$ 而不是 $r(X)$ 呢? 因为 $X$ 只是代表解空间中的任意向量, 它不是解空间也不是一个确定的向量. 比如当 $c_1 =1, c_2 = 3$ 的时候, $X=\left(\begin{matrix}7\-6\1\3\end{matrix}\right)$ 这个时候$X$没有非零行, 它的维度是$4$ 所以秩也是$4$, 当$c_1 =0, c2 = 0$ 的时候, $X=\left(\begin{matrix}0\0\0\0\end{matrix}\right)$, 它的维度是$0$, 秩是$0$. 写 $r{max}(X)$ 就表示前一种情况, 也就是维度最大的情况.

翻开我们的玄学教材, 你会看到这样一条性质: $A_{m \times n} B=O \Rightarrow r(A)+r(B) \leq n$. 我们看刚才这个齐次线性方程组, $AX=O$, 根据前面的 $r(X) \leq n - r(A) $, 把 $r(A)$ 移到左边, 就有$r(A) + r(X) \leq n$ 这不就是书上的结论了吗, 其实非常简单, 只是我们的教科书不说人话, 全程因为所以因为所以, 我们只能一脸懵逼一脸懵逼.

在玄学教材中, 还有这样一个性质: $n-r=R_s$ 其中 $Rs$ 就是解空间的维度, 而解空间的维度取决于里面的向量最大能到多少维, 里面的向量就是 $X$, 而 $X$ 最大是多少维? 自然是 $r{max}(X)$, 所以解空间的维度 $Rs = r{max}(X)$. 可见, 这两个性质其实是同一个的不同表现形式. 现在理解起来也很容易了.

另外, 我们常常容易弄混淆的就是行数列数什么的, 其实在这里, 应有行数就是列数就是所有未知量的数目就是解空间的维度. 为什么我要叫应有行数? 对于非方阵的系数矩阵, 我们可以在下面补全全为$0$的行构成方阵, 这样得到的方阵就是应有行数.

当没有自由未知量的时候呢? 这个时候 $r(S) = n - r = 0$ 解空间是 0 维, 0 维表示空间中的零向量 $(0,0,\dots,0)$ 所以这个时候只有 0 解. 当不为零的时候, 解空间或是直线或是平面, 或是其它高维空间, 都包含无数个向量, 所以说线性方程组如果不是只有零解就一定有无穷个解

由此我们还可以拓展到非其次线性方程组的情况

假设行最简化得到 $\left[\begin{array}{rrrrr}{1} & {-2} & {3} & {-1} & {1} \ {0} & {5} & {-4} & {0} & {-1} \ {0} & {0} & {0} & {0} & {2}\end{array}\right]$

最右边的向量是常数项构成的列向量. 书上说"可见 $R(\boldsymbol{A})=2, R(\boldsymbol{B})=3$ 所以方程组无解", 我们就把这里的所以展开说说. 前面说到, 行最简化就是向量尽可能低维度化. 一波操作之后, 就是要用左边的列向量组$\left[\begin{array}{llll}{1} & {-2} & {3} & {-1} \ {0} & {5} & {-4} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$ 中的列向量线性组合得到右边的常数向量 $\left[\begin{array}{r}{1} \ {-1} \ {2}\end{array}\right]$ 显然构成不了, 所以说无解. 因此有定理: 系数矩阵秩小于增广矩阵秩, 无解. 此为原因.

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