矩阵等价, 合同, 相似的关系
矩阵的等价（只有秩相同），合同（秩和正负惯性指数相同），相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同）
等价关系的性质
- 自反性
- 对称性
- 传递性
等价, 合同, 相似描述的都是两个矩阵之间的关系, 且都是集合上的等价关系. 约束程度递增.
如何判断等价(等价矩阵)
- 其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。
- 它们有相同的秩。
如何判断合同
定义:
有可逆矩阵 $P$，使得$A=P^{{\mathrm {T}}}BP$
- 等价是合同的必要条件
- 正惯性指数相等是合同的必要条件
西尔维斯特惯性定理
在实数域中，一个形如$a_{11}x1^2+a{12}x_1x2+a{13}x_1x3+...+a{nn}x_n^2$的二次型通过线性变换可以化简成惟一的标准型$y_1^2+y_2^2+...+yp^2-y{p+1}^2-....-y_r^2$。其中的正项数（称为正惯性系数）、负项数（称为负惯性系数）以及 0 的数目惟一确定，其中的$r$为系数矩阵的秩。正惯性系数$p$－负惯性系数$ (r-p) $的值$ (2p-r) $称作符号差。
如何判断相似
充分必要条件: A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得：$P^{-1}AP = B$
相似的矩阵是同一个线性变换在不同基的表现, 因此具有性质
- 秩相等
- 行列式相等
- 迹相等
- 特征值相等
- 特征多项式相等
例子: 下面哪个和 $A=\left(\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \ {0} & {1} & {0} \ {0} & {0} & {2}\end{array}\right)$ 相似
A. $\left(\begin{array}{lll}{1} & {1} & {0} \ {0} & {2} & {1} \ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$
$\mathrm{B} .\left(\begin{array}{lll}{1} & {1} & {0} \ {0} & {1} & {0} \ {0} & {0} & {2}\end{array}\right)$
$C \cdot\left(\begin{array}{lll}{1} & {0} & {1} \ {0} & {1} & {0} \ {0} & {0} & {2}\end{array}\right)$
D. $\left(\begin{array}{lll}{1} & {0} & {1} \ {0} & {2} & {1} \ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$
这题一看, 特征值都相等, 分别是 1 1 2. 重特征值是 1. 那么带入这个特征值, 得到的矩阵是
$A-\lambda E=\left(\begin{array}{lll}{0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$, 秩为 1. 检验四个选项 $r(A-\lambda E)$ 只有 C 也是 1, 所以选 C.