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线性代数:矩阵等价, 合同, 相似的关系

矩阵等价, 合同, 相似的关系

矩阵的等价(只有秩相同),合同(秩和正负惯性指数相同),相似(秩,正负惯性指数,特征值均相同)

https://zhidao.baidu.com/question/1180268603257128659.html

等价关系的性质

  1. 自反性
  2. 对称性
  3. 传递性

等价, 合同, 相似描述的都是两个矩阵之间的关系, 且都是集合上的等价关系. 约束程度递增.

如何判断等价(等价矩阵)

  1. 其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。
  2. 它们有相同的秩。

如何判断合同

定义:

有可逆矩阵 $P$,使得$A=P^{{\mathrm {T}}}BP$

  1. 等价是合同的必要条件
  2. 正惯性指数相等是合同的必要条件

西尔维斯特惯性定理

在实数域中,一个形如$a_{11}x1^2+a{12}x_1x2+a{13}x_1x3+...+a{nn}x_n^2$的二次型通过线性变换可以化简成惟一的标准型$y_1^2+y_2^2+...+yp^2-y{p+1}^2-....-y_r^2$。其中的正项数(称为正惯性系数)、负项数(称为负惯性系数)以及 0 的数目惟一确定,其中的$r$为系数矩阵的秩。正惯性系数$p$-负惯性系数$ (r-p) $的值$ (2p-r) $称作符号差

如何判断相似

充分必要条件: AB相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P,使得:$P^{-1}AP = B$

相似的矩阵是同一个线性变换在不同基的表现, 因此具有性质

  1. 秩相等
  2. 行列式相等
  3. 迹相等
  4. 特征值相等
  5. 特征多项式相等

例子: 下面哪个和 $A=\left(\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \ {0} & {1} & {0} \ {0} & {0} & {2}\end{array}\right)$ 相似

A. $\left(\begin{array}{lll}{1} & {1} & {0} \ {0} & {2} & {1} \ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$

$\mathrm{B} .\left(\begin{array}{lll}{1} & {1} & {0} \ {0} & {1} & {0} \ {0} & {0} & {2}\end{array}\right)$

$C \cdot\left(\begin{array}{lll}{1} & {0} & {1} \ {0} & {1} & {0} \ {0} & {0} & {2}\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{lll}{1} & {0} & {1} \ {0} & {2} & {1} \ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$

这题一看, 特征值都相等, 分别是 1 1 2. 重特征值是 1. 那么带入这个特征值, 得到的矩阵是

$A-\lambda E=\left(\begin{array}{lll}{0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$, 秩为 1. 检验四个选项 $r(A-\lambda E)$ 只有 C 也是 1, 所以选 C.

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