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常用展开式以及记忆技巧

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n-2}}{(n-2) !}+o\left(x^{n-2}\right)$

奇数次幂得到 sin

$\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+o\left(x^{2 n}\right)$

偶数次幂得到 cos

$\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+o\left(x^{2 n+1}\right)$

sin 去阶乘得到 arctan

$\arctan x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+o\left(x^{2 n+1}\right)$

不跳步得到 ln(x+1)

$\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^{n}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots \quad$ for $\quad|x| \leq 1$

顺次相加是 $\frac{1}{1-x}$

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+o\left(x^{n}\right)$

负号代换是 $\frac{1}{1+x}$

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}+\cdots+x^{n}+o\left(x^{n}\right)$

积分之后是 $\arctan x$

$$
\arctan x=x-\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{5}x^5-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots
(-1 \leqslant x \leqslant 1)
$$

$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+\dots$

tan 复杂, 不如死记

$\tan x = x+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15} x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}$

$ \operatorname{arcsin} x=x+\frac{x^{3}}{6}+\cdots+\frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)}+o\left(x^{2 n+3}\right)$

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