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微分恰当方程及其解法

恰当方程

什么是恰当方程? 不如看几个例子:

这是一个恰当方程 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x-y+1}{x+y-3}$

这也是一个恰当方程 $\left(3 x^{2} y+y^{2}\right) d x+\left(x^{3}+2 x y\right) d y=0$

怎么判断是不是恰当方程? 很简单, 验证偏导相等:

方程 $M(x, y) \mathrm{d} x+N(x, y) \mathrm{d} y=0$ 是恰当方程的充要条件是
$$
\dfrac{\partial M(x, y)}{\partial y}=\dfrac{\partial N(x, y)}{\partial x}
$$

怎么求解恰当方程?

通解形式:

$\int M(x, y) \mathrm{d} x+\int\left[N-\frac{\partial}{\partial y} \int M(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y=c$

别记这个公式哦, 因为(按照程序员的作风)我们可以把它看成这种形式:
$$
A + B=c\
A = \int Mdx\
B=\int N-Kdy
$$
其中
$$
K = \frac{d(A)}{dy}
$$
所以求解顺序就是 $A, K, B, 通解$, "左积x, y微之, 右去之, 再积y, 左积并之, 和为常数 ". 下面做题掌握模型.

例子: 解方程$\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right) d x+\left(6 x^{2} y+4 y^{3}\right) d y=0$
$$
\begin{align}
\ &{\color{blue}\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right)} d x+{\color{purple}\left(6 x^{2} y+4 y^{3}\right)} d y=0\
\text{左积 x: }&\int {\color{blue}\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right)} d x = x^3+3x^2y^2\
\text{ y 微之: }&\frac{d(x^3+3x^2y^2)}{dy} = 6x^2y\
\text{右去之: }& {\color{purple}\left(6 x^{2} y+4 y^{3}\right)}-6x^2y = 4y^3\
\text{再积 y: }& \int 4y^3 dy = 4y^3\
\text{左积并之: }& 4y^3 +(x^3+3x^2y^2) =c
\end{align}
$$
最终结果就是 $ 4y^3 +(x^3+3x^2y^2) =c$, 实际上, 上面的左右虽然对应了 $M={\color{blue}\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right)}, N={\color{purple}\left(6 x^{2} y+4 y^{3}\right)}$ 但是反过来也可以, 最终结果是一样的.

下面解方程 $y'=\frac{x+y}{x-y}$
$$
\begin{align}
y'=\frac{x+y}{x-y}\
\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}\
dx(y+x)+dy(y-x)=0\
K=\int Mdx=\int y+xdx=xy+\frac{x^2}{2}+c_1\
dK/dy=d(xy+\frac{x^2}{2}+c_1)/dy=x\
N-dK/dy=x+y-x=y\
\int (N-dK/dy) dy= \int y dy=\frac{y^2}{2}+c_2\
c=\frac{x^2+y^2}{2}+xy\
\Rightarrow Resolv:c = (x+y)^2
\end{align}
$$
这里看上去没毛病, 实际上解错了.

警告 这里有一个坑

恰当方程的充要条件是$\dfrac{\partial M(x, y)}{\partial y}=\dfrac{\partial N(x, y)}{\partial x}$

我们一眼瞟上去会以为是偏导相等即可, 其实不然, 它并不是偏导, 而是交叉求导

仔细看, 关于 x 的函数 M 是对 y 求导. 所以上面的答案是错的, 老老实实用换元法吧.

下面解方程 $y'=\frac{x-y}{x+y}$

注意, 分子分母互换了.
$$
\begin{align}
\ &{\color{blue}(y+x)dy }+{\color{purple}(y-x)} d x=0\
\text{左积 y: }&\int {\color{blue}(y+x)} dy =xy+\frac{y^2}{2}+c_1\
\text{ x 微之: }&\frac{d(xy+\frac{y^2}{2})}{dx} = y\
\text{右去之: }& {\color{purple}y-x}-(y) = -x\
\text{再积 x: }& \int -x dx = -\frac{x^2}{2}+c_2\
\text{左积并之: }& \frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}
+xy =c
\end{align}
$$

警告 这里就不能不提第二个坑了, 积分时 y+x 后面是 dy, 所以积分是对 y 的, 可不要死记硬背口诀.

进阶技巧

不定积分法

解方程$\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right) d x+\left(6 x^{2} y+4 y^{3}\right) d y=0$

解: 只需要找到 $u$ 使得
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=3 x^{2}+6 x y^{2} \tag{1}
$$

$$
\frac{\partial u}{\partial y}=6 x^{2} y+4 y^{3} \tag{2}
$$

对(1)式子关于 x 积分, 得到

$u=x^{3}+3 x^{2} y^{2}+\varphi(y)$

对 u 关于 y 求导, 并等于 (2) 式子得到

$6 x^{2} y+4 y^{3}=6 x^{2} y+\varphi^{\prime}(y)$

积分得到

$\varphi(y)=y^{4}$

通解是 $\int M(x, y) \mathrm{d} x+\varphi(y)$

对于该方程, 就是 $x^{3}+y^{4}+3 x^{2} y^{2}=c$

分组法

解方程$\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right) d x+\left(6 x^{2} y+4 y^{3}\right) d y=0$

解:

$3 x^{2} d x++4 y^{3} d y+\left(6 x y^{2} d x+6 x^{2} y d y\right)=0$

$d x^{3}+d y^{4}+\left(3 y^{2} d x^{2}+3 x^{2} d y^{2}\right)=0$

$d\left(x^{3}+y^{4}+3 x^{2} y^{2}\right)=0$

所以通解是: $x^{3}+y^{4}+3 x^{2} y^{2}=c$

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