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几何学:两直线定面的代数方法

我们要做什么: 已知两直线方程, 求面的标准 $Ax+By+Cz+D = 0$ 方程 两直线定面, 则两直线不异面, 即要么平行, 要么相交. 如果直线是点向式的, 比如以各维参数方程给出, 或是以各维比值关系给出. 例如: $L_{1}:\left{\begin{array}{l}{x=-1+t} \ {y=1+3 t} \ {z=3-4 t}\end{array}\right.$ $L_{2}[ 阅读全文 ]几何学:两直线定面的代数方法

线性代数:矩阵形式的初等变换的逆变换

在初等方阵一文中,我们研究了各种初等方阵,而矩阵就是线性变换,初等方阵的逆矩阵就是线性变换的逆变换。 有这样的性质: 对矩阵 $A$ 左乘变换 $T=\begin{pmatrix}1&0&0\ 0&1&0\ 0&2&1\end{pmatrix}$, 注意到 $T$ 的三行二列位置是 2, 表示把 $A$ 矩阵的第三行加上 2 倍的第二行. 用程序设计[ 阅读全文 ]线性代数:矩阵形式的初等变换的逆变换

微积分与几何:体积、曲线长度和表面积问题

目录 积分与几何体积积分问题曲线长度问题表面积问题极坐标系下的几何微积分问题面积问题弧长问题积分与几何 体积积分问题 求球体 $x^2+y^2+z^2=r^2$ 的体积 求 $y = \sqrt{x}$ 在 $(0,x_0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周形成的体积 解: 设与 $yOz$ 平行的面在 $x$ 处与球体相交, 截面面积是 $A(x)$. 根据勾股定理, $A(x)=\pi y^{2}=\[ 阅读全文 ]微积分与几何:体积、曲线长度和表面积问题

线性代数:$r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ “和的秩小于秩的和” 句读

把 $A,B$ 看作两个列向量组, 那么运算 $A+B$ 表示的是向量的批量对应叠加. 考虑 $A=\begin{pmatrix}1\ 2\ 0\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2\ 3\ 0\end{pmatrix}$ 把它们相加, 或者各放缩(乘以$k$)后叠加, 无论如何都不可能出来一个 $z$ 值不是 $0$ 的向量, 向量叠加不会增加维度. 但是, 向量相加却[ 阅读全文 ]线性代数:$r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ “和的秩小于秩的和” 句读

线性代数:正交矩阵的总结

正交矩阵的定义: $AA^T =0$ 那么 $A$ 是正交矩阵. 性质: 逆等于转置 行列式等于 $\pm1$ 其转置, 逆, 伴随矩阵都是正交矩阵 有限个正交矩阵的乘积一定是正交矩阵 (充要条件)所有行(列)向量都是正交单位向量组 它的定义表明, 每行每列的平方和都是 1, 它的任意两行之间, 任意两列之间的内积都是0, 它的 X 列乘以它的转置的非 X 行的积是 0 求正交矩阵 $P$ 使得 [ 阅读全文 ]线性代数:正交矩阵的总结