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高数笔记:$xf(a)-af(x)$型的处理

例:设$f'(a) = b$,则$\lim\limits_{x\to a}\frac{xf(a) - af(x)}{x-a} = ?$

解:

上下同除 $ax$
$$
\begin{align}
& \lim\limits{x\to a}\frac{xf(a) - af(x)}{x-a}\
& =\lim\limits
{x\to a}\frac{\frac{f(a)}{a} - \frac{f(x)}{x}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{x}} \
& =ax \lim\limits_{x\to a}\frac{\frac{f(a)}{a} - \frac{f(x)}{x}}{x-a}
\& = -a^2[\frac{f(a)}{a}]' \
& = f(a) - ab
\end{align}
$$
法二:

添加临时项
$$
\begin{align}
&\lim\limits{x\to a}\frac{xf(a) - af(x)}{x-a}\
&= \lim\limits
{x\to a}\frac{
xf(a) - af(a) + af(a) - af(x)
}{x-a}\
&= \lim\limits{x\to a}\frac{
(x - a)f(a) + a(f(a) -f(x))
}{x-a}\
&=f(a) + a\lim\limits
{x\to a}\frac{
(f(a) -f(x))
}{x-a}\
&=f(a) - a f'(x)\
&=f(a) - ab
\end{align}
$$

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