Site Overlay

高数笔记:求指数型极限——对数变换

例:

若函数$f(x)= \left{\begin{align}{(\cos x)^{1\over x^2},x\neq0,\a ,x=0}\end{align}\right.$在$(-\infin,+\infin)$上连续,则 $a=?$

解:在$a$处连续,则
$$
a = \lim\limits{x\to0}(\cos x)^{1\over x^2}=\lim\limits{x\to0}\left(e^{{1\over x^2}\ln\cos x}\right)
$$
运用洛必达法则,得:
$$
\lim\limits{x\to0}\left(e^{{1\over x^2}\ln\cos x}\right) =
\lim\limits
{x\to0}\left(e^{\tan x\over 2x}\right)= e^{-\frac{1}{2}}
$$

注:这里用到一个结论 $(\ln\cos x)' = - \tan x$。
顺便不妨再记一个结论:$(\ln\sin x)' = + \cot x$。
都记了 sin 和 cos 了怎么能少了 tan 对吧!$(\ln\tan x)' = \frac{2}{sin2x}$。

因此 $a=1$。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注