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数学基础:反三角函数的导数,附记忆方法

设 $y=\arcsin(x)$,则有 $x = \sin (y)$,两边对$x$求导得:
$$
1 = y'\cos y \Rightarrow y' = \frac{1}{\cos y}
$$
由于 $\sin^2y+ \cos^2y = 1$,可解出 $\cos y = \sqrt{1-\sin^2y}$。带入上式。再带入 $x = \sin (y)$,可得
$$
y' = \arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$
同理可得:
$$
y' = \arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$
其中这个负号来自于 $\cos$求导得 $-\sin$ 这里的负号。可由此避免混淆。

对于 tan:

$y = arctan(x)$ 则有 $x = tan(y)$.
$$
tan'(y) = \frac{1}{cos^2y}=sec^2y
$$
根据平方关系,$tan^2 - sec^2 = 1$,因此可得

tan

tan

sin

sin

cos

cos

cot

cot

csc

csc

sec

sec

$$
\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}
$$

这里平方关系变成了“差”,之后的分母因而是“和”,并且是平方,所以分母没有根号。据此可帮助记忆。

同理可得:
$$
arccot'(x) = -\frac{1}{1+x^2}
$$
这里 $cot$的导数是$-csc$,因此前面带个符号。这里的平方关系是 $cot^2 - csc^2 = 1$。

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